Синергетика для инженеров. Никитенков Н.Н - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

109
обозначают соответствующие вторую производную по времени (u
tt
) и
вторую производную по координате x (u
xx
). Уравнение (3.23) описывает
плоскую одномерную волну, аналогом которой может служить, например,
волна, распространяющаяся по струне. В (3.23) в качестве u можно
принять плотность воздуха, если речь идет, например, о звуковой волне в
воздухе. Если рассматривают электромагнитные волны, то под u понимают
напряженность электрического и/или магнитного поля.
Решение волнового уравнения (3.23), которое впервые было получено
Ж. Даламбером в 1748 году, имеет вид:
u(x,t) = f(x–ct)+g(x+ct), (3.24)
функции f и g находят из начальных условий для u. Уравнение (3.23)
содержит вторую производную от u по t, поэтому для него следует
задавать два начальных условия: значение u при t = 0 и производную u
t
при t = 0.
Решения волнового уравнения (3.23) подчиняются принципу
суперпозиции. То есть, если взять два любых решения этого уравнения, то
их сумма снова будет решением этого же уравнения. Это свойство
соответствует линейности явления, которое оно описывает. Для
нелинейных уравнений это свойство не выполняется, что соответствует
существенным отличиям в описании ими процессов. В частности, из
выражения для скорости уединенной волны, которую наблюдал Рассел,
следует, что ее значение зависит от амплитуды, а для волны, описываемой
уравнением (3.23), такой зависимости нет.
Непосредственной подстановкой в уравнение (3.23) можно убедиться,
что зависимость:
u(x,t) = acos(kx–
߱
t), (3.25)
где a, k и ω – постоянные, при ω = ± k является решением уравнения
(3.23). В этом решении a – амплитуда, k – волновое число, а ω – частота.
Приведенное решение представляет собой монохроматическую волну,
переносимую в среде с фазовой скоростью
. (3.26)
На практике монохроматическую волну создать трудно, и обычно
имеют дело с цугом (пакетом) волн, в котором каждая волна
распространяется со своей скоростью, а скорость распространения пакета

Страницы