Синергетика для инженеров. Никитенков Н.Н - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

111
длинные волны.
Уравнение, которое было ими получено, имеет вид
6 0
t x xx
u uu u
+ + =
(3.29)
Это уравнение, как и (3.23), является уравнением в частных
производных. Решить уравнение такого типа – значит найти зависимость u
от x и t, после подстановки которой в уравнение получается тождество.
Уравнение (3.29) имеет волновое решение, известное с конца XIX века.
Оно выражается через специальную эллиптическую функцию, которая
носит имя Карла Якоби. При некоторых условиях эллиптическая функция
Якоби переходит в секанс гиперболический и решение имеет вид:
(3.30)
где φ
0
– произвольная постоянная.
Решение (3.30) уравнения (3.29) является предельным случаем
бесконечно большого периода волны, который соответствует уединенной
волне.
Решение (3.30) уравнения Кортевега–де Фриса является бегущей
волной. Это означает, что оно зависит от координаты x и времени t через
переменную ξ=x–c
0
t. Эта переменная характеризует положение точки,
движущейся со скоростью волны c
0
, то есть она обозначает положение
наблюдателя, который постоянно находится на гребне волны. Таким
образом, уравнение Кортевега–де Фриса в отличие от решения (3.24)
волнового решения (3.23) имеет волну, распространяющуюся лишь в
одном направлении. Однако оно учитывает и проявление более сложных
эффектов вследствие дополнительных слагаемых uu
x
и u
xx
.
В действительности это уравнение является приближенным, поскольку
при его выводе использованы малые параметры ε и δ (3.28). Если прене-
бречь влиянием этих параметров, устремляя их к нулю, получится одну из
частей решения (3.23).
Конечно, при выводе уравнения для длинных волн на воде влияние
параметров ε и δ может быть учтено более точно, но тогда получится
уравнение, содержащее гораздо больше слагаемых, чем уравнение (3.29), и
с производными более высокого порядка. Из сказанного следует, что
решение уравнения Кортевега–де Фриса для описания волн справедливо
только на определенном расстоянии от места образования волны и на
определенном промежутке времени. На очень больших расстояниях
нелинейные волны уже не будут описываться уравнением Кортевега–де
Фриса, и для описания процесса потребуется более точная модель.

Страницы