ВУЗ:
Составители:
127
объемов кубов, необходимых для покрытия поверхности:
(3.37)
δ→0
При δ→0 этот объем, очевидно, обращается в нуль.
Можно ли поверхности поставить в соответствие какую-нибудь длину?
Формально за такую длину можно принять величину
(3.38)
δ→0
которая расходится при δ→0. Этот результат имеет смысл, так как
поверхность невозможно покрыть конечным числом прямолинейных
отрезков. Отсюда следует, что единственной содержательной мерой
множества точек, образующих поверхность в трехмерном пространстве,
является площадь.
Но множества точек, образующих кривые, могут быть закрученными
так сильно, что длина их окажется бесконечной. В математике существуют
кривые (кривые Пеано), заполняющие плоскость. Существуют также
поверхности, изогнутые столь необычно, что они заполняют пространство.
(Я.Б. Зельдович называл их «толстыми кривыми» и «толстыми
поверхностями»). Для того чтобы можно было рассматривать и такие
удивительные множества точек, следует обобщить понятие меры
величины множества.
До сих пор, определяя меру величины множества точек Ξ в простран-
стве, выбирали некоторую пробную функцию h(δ)=γ(d)δ
d
– отрезок прямой,
квадрат, круг, шар или куб, и ею покрывалось множество, образуя меру
M
d
=Σh(δ). Для прямолинейных отрезков геометрический коэффициент
γ(d)=1, для кругов γ=π/4 и для сфер γ=π/6. Отсюда следует, что в общем
случае при δ→0 мера M
d
равна нулю или бесконечности в зависимости от
выбора d-размерности меры. Размерность Хаусдорфа-Безиковича D
множества Ξ есть критическая размерность, при которой мера M
d
изменяет свое значение с нуля на бесконечность:
(3.39)
δ→0
M
d
называют d-мерой множества. Значение M
d
при d=D обычно конечно,
но может быть равно нулю или бесконечности; существенно, при каком
именно значении d величина M
d
изменяется скачком. Заметим, что в
приведенном выше определении размерность Хаусдорфа-Безиковича
фигурирует как локальное свойство в том смысле, что эта размерность
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- …
- следующая ›
- последняя »
