Синергетика для инженеров. Никитенков Н.Н - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

125
публикуется множество работ не только по геометрии фракталов, но и еще
больше – по приложению ее к самым разным областям. Появились
исследования фрактальной геометрии не только природных объектов, но и
социальных процессов (изменений цен и распределений заработной платы,
статистики ошибок при вызовах на телефонных станциях, частот слов в
печатных текстах, различных математических объектов и многого
другого).
Фракталы используют для сжатия изображенией. Идея фрактального
сжатия состоит в нахождении в изображении подобных областей и
сохранении в файле только коэффициентов преобразований подобия.
Сжатие произойдет в том случае, когда коэффициенты преобразований
займут меньше места, чем исходное изображение.
Поскольку многие природные объекты, которые появились в результате
самоорганизации и «странные аттракторы» обладают фрактальной
размерностью, то для синергетики исследование фракталов является одной
из основных задач.
3.7.1. Фрактальная размерность
Термины «размерность Хаусдорфа-Безиковича» и «фрактальная
размерность» являются синонимами. Просто в первом варианте отражается
заслуга авторов этого понятия – немецкого математика Ф. Хаусдорфа,
который ввел способ измерения дробной размерности пространства еще в
начале ХХ века, и русского математика А.С. Безиковича, который развил
его идеи. Теперь перейдем к определениям понятий топологическая
размерность и фрактальная размерность.
Под топологической размерностью (для простоты изложения) будем
понимать обычную евклидову размерность, которая для точки равна 0, для
линии – 1, для плоскости – 2, для куба – 3.
Фракталы будем рассматривать как некое особое множество точек в
пространстве. Центральное место в определении размерности Хаусдорфа-
Безиковича D занимает измерение множества Ξ точек в пространстве.
Простой способ измерить длину кривых, площадь поверхностей или
объем тела состоит в том, чтобы разделить их соответственно на очень
малые отрезки длиной δ, квадраты со стороной δ, кубы с ребром δ или
сферы диаметром δ. Если поместить центр малой сферы диаметром δ в
какой-нибудь точке множества, то все точки, находящиеся от центра на
расстоянии r<(1/2)δ, окажутся покрытыми этой сферой. Подсчитывая
число сфер, необходимых для покрытия интересующего нас множества
точек, получим меру величины множества.
Кривую можно измерить, определяя число N(δ) прямолинейных
отрезков длины δ, необходимых для того, чтобы покрыть ее (рис. 3.31).

Страницы