Синергетика для инженеров. Никитенков Н.Н - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

124
понимал, прежде всего, геометрию явлений, наблюдаемых в природе и во
многих областях человеческой деятельности. Мандельброт показал, что
фракталоподобной структурой обладают такие разные явления как:
береговые линии островов и материков, ландшафты гор, границы облаков,
ветви деревьев, русла рек, турбулентные вихри, сосудистая система
человека, зерна в скалистых породах, металлах и композитных материалах,
а также геометрическая структура кристаллов, молекул химических
веществ, в частности, протеинов и многие другие объекты.
Мандельброт в этой работе не стал сразу давать строгого определения
новому понятию, поскольку понял, что стоит только на пороге открытия
новой геометрии. Он считал, что это определение «как и хорошее вино,
требует выдержки». Все фракталы, которые он исследовал, по его мнению,
обладали двумя основными свойствами – изломанностью и самоподобием.
Изломанность понятна и визуально и математически (как отсутствие
производной в каждой точке излома). Самоподобие понимается как в
классическом смысле, когда часть есть уменьшенная копия целого, так и в
неклассическом, когда часть является деформированной копией целого.
Строгое и полное определение фракталов пока дать не удается. Е. Федер
в работе «Фракталы» (1991) приводит два определения фрактала:
1. Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-
Безиковича (определение см. в разделе 3.7.1.) которого строго больше его
топологической размерности. (Новое определение Мандельброта).
2. Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в
каком-то смысле подобны целому.
Первое из этих определений корректно, но ограничено – оно исключает
многие фракталы, встречающиеся в физике. Второе определение содержит
лишь внешний отличительный признак фрактала – самоподобие.
Поэтому в разных работах часто встречается объединение этих двух
определений: фракталами называют множества, которые обладают
дробной размерностью Хаусдорфа-Безиковича и свойством самоподобия.
Большаков В.И., Волчук В.Н., Дубров Ю.И. в книге «Фракталы в
материаловедении» (2005) приводят более полное определение:
фракталом называют функциональное отображение или множество,
получаемое бесконечным рекурсивным процессом и обладающее тремя
следующими свойствами: дробной размерностью Хаусдорфа-Безиковича,
самоподобием и недифференцируемостью.
При этом следует различать фракталы как математические объекты и
фракталоподобные объекты реального мира. Последние обладают
свойством самоподобия в ограниченном масштабе (они моделируются с
помощью конечного, а не бесконечного рекурсивного процесса).
Фрактальная геометрия – новая междисциплинарная область научных
исследований. Она развивается быстрыми темпами. Каждый год

Страницы