Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

14
частным приращением функции
),( yxfz
по переменной
x
в точке
),( yx
и
обозначается
),( yxz
x
:
),(),(),( yxfyxxfyxz
x
.
Аналогично, фиксируя аргумент
x
и придавая аргументу
y
приращение
y
(так чтобы точка
);( yyx
по-прежнему принадлежала окрестности U),
получим частное приращение функции
),( yxfz
по переменной
y
в
точке
:
),(),(),( yxfyyxfyxz
y
.
Величина
),(),(),( yxfyyxxfyxz
называется полным
приращением функции в точке
.
Определение. Частной производной функции двух переменных по
одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего
частного приращения функции к приращению данной переменной, когда это
приращение стремится к нулю (если этот предел существует). Обозначается
частная производная так:
yx
zz ,
или
y
z
x
z
,
, или
),(),,( yxfyxf
yx
.
Таким образом, по определению имеем:
частная производная функции
),( yxfz
по переменной
x
в точке
),( yx
:
x
yxfyxxf
x
yxz
yx
x
z
yxz
x
x
x
x
),(),(
lim
),(
lim),(),(
00
;
частная производная функции
),( yxfz
по переменной
y
в
точке
:
y
yxfyyxf
y
yxz
yx
y
z
yxz
x
y
y
y
),(),(
lim
),(
lim),(),(
00
.
Аналогично определяются частные производные функций любого числа
независимых переменных. В этом случае фиксируются все переменные, кроме
той, по которой ищется производная. Например, для функции трех переменных
),,( zyxfu
: 
частным приращением функции z                                             f ( x, y ) по переменной x в точке ( x, y ) и
обозначается              x   z ( x, y ) :

                                                  x   z ( x, y )       f (x           x, y )         f ( x, y ) .
        Аналогично, фиксируя аргумент x и придавая аргументу y приращение
    y (так чтобы точка ( x; y                           y ) по-прежнему принадлежала окрестности U),
получим частное приращение функции z                                                         f ( x, y ) по переменной                      y в
точке ( x, y ) :

                                                  y   z( x, y)         f ( x, y            y)        f ( x, y) .

        Величина                     z ( x, y )       f (x           x, y           y)      f ( x, y )          называется         полным
приращением функции в точке ( x, y ) .
        Определение. Частной производной функции двух переменных по
одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего
частного приращения функции к приращению данной переменной, когда это
приращение стремится к нулю (если этот предел существует). Обозначается
                                                                          z z
частная производная так: z x , z y или                                     ,  , или f x ( x, y), f y ( x, y) .
                                                                          x y
        Таким образом, по определению имеем:
        частная производная функции z                                       f ( x, y ) по переменной x в точке ( x, y ) :
                                         z                            x   z ( x, y)                  f (x        x, y)    f ( x, y)
                     z x ( x, y)           ( x, y)         lim                              lim                                        ;
                                         x                   x   0           x               x   0                   x
        частная           производная                  функции                  z        f ( x, y )       по        переменной             y   в
         точке ( x, y ) :

                                         z                            y   z ( x, y )                 f ( x, y        y)   f ( x, y )
                     z y ( x, y )          ( x, y )        lim                              lim                                        .
                                         y                   y   0          y                x   0                    y
        Аналогично определяются частные производные функций любого числа
независимых переменных. В этом случае фиксируются все переменные, кроме
той, по которой ищется производная. Например, для функции трех переменных
u     f ( x, y , z ) :

                                                                          14

Страницы