Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

16
Из определения частных производных следует, что все правила и
формулы дифференцирования функций одной переменной применимы и для
нахождения частных производных функций любого числа переменных.
Следует только помнить, что при вычислении частной производной по
одной переменной остальные переменные считаются постоянными.
В частности, при вычислении частной производной функции
),( yxfz
по переменной
x
переменная
y
считается постоянной, при
дифференцировании же функции по переменной
y
постоянной считается
x
. А
при вычислении, например,
),,( zyxf
x
постоянными считаются аргументы
y
и
z
.
Пример 1. Найти частные производные функций:
а)
247
3223
yxyyxxz
; б)
yx
e
y
x
z
2
2
,
в)
; г)
y
x
eyxz ),(
.
Решение. а) Чтобы найти
x
z
считаем
y
постоянной величиной и
дифференцируем
z
как функцию одной переменной
x
:
xxxxxx
consty
x
yxyyxxyxyyxxz 2)()4()7()()247(
32233223
)(
22222
4143004)(73 yxyxxyxyx
x
.
Аналогично, считая
x
постоянной величиной, находим
y
z
:
yyyyyy
constx
y
yxyyxxyxyyxxz 2)()4()7()()247(
32233223
)(
03)(4)7(0
222
yyxyx
yy
22
387 yxyx
.
б)
x
yx
xx
yx
x
x
yx
consty
x
yxex
y
e
y
x
e
y
x
z )2(
2
1
)(
2
2
222
)(
)(
yx
e
y
2
2
1
;
y
yx
y
y
yx
y
y
yx
cons tx
y
yxe
y
x
e
y
x
e
y
x
z )2(
1
2
)(
2
2
222
)(
)(
)(
           Из определения частных производных следует, что все правила и
формулы дифференцирования функций одной переменной применимы и для
нахождения частных производных функций любого числа переменных.
Следует только помнить, что при вычислении частной производной по
одной переменной остальные переменные считаются постоянными.
           В частности, при вычислении частной производной функции z                                                                                         f ( x, y )
по         переменной                      x         переменная                            y           считается                   постоянной,                    при
дифференцировании же функции по переменной y постоянной считается x . А
при вычислении, например, f x ( x, y , z ) постоянными считаются аргументы y и
z.
           Пример 1. Найти частные производные функций:
                                                                                                                  x
           а) z             x3    7 x 2 y 4 xy2               y3          2;                      б) z                        ex   2y
                                                                                                                                        ,
                                                                                                                 2y
                                                                                                                      x

           в) z x y   x;     2
                                          г) z ( x, y ) e .
                                                                                                                      y


           Решение. а) Чтобы найти z x считаем y постоянной величиной и
дифференцируем z как функцию одной переменной x :
        zx            (x3        7 x 2 y 4 xy2                y3     2) x           (x3 ) x         (7 x 2 y ) x          (4 xy2 ) x              ( y3 )x    2x
     ( y const )

                                  3x 2     7 y (x2 )                4 y 2 xx           0 0 3x 2 14xy 4 y 2 .
           Аналогично, считая x постоянной величиной, находим z y :

   zy              (x3       7 x 2 y 4 xy 2              y3        2) y        (x3 ) y           (7 x 2 y ) y       (4 xy2 ) y               ( y3 ) y       2y
( x const )


                 0 (7 x 2 ) y y            4x ( y 2 ) y              3y 2        0         7 x 2 8xy 3 y 2 .

                                       x                                                                          1
           б)         zx                       ex   2y
                                                                    ( 2xy )                (e x    2y
                                                                                                        )x           xx             ex       2y
                                                                                                                                                   ( x 2 y) x
                   ( y const )        2y                  x                     x                                 2y

                   1
                            ex   2y
                                      ;
                   2y

                                  x                                                                          x
                 zy                       ex   2y
                                                              ( 2xy )               (e x    2y
                                                                                                  )y             ( 1y )            ex       2y
                                                                                                                                                  ( x 2 y) y
              ( x const )        2y                 y                     y                                  2            y



                                                                                 16

Страницы