Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

17
)2()(
2
21 yx
y
ey
x
yxyx
e
y
x
e
y
x
2
2
2
2
2
2
2
1
2
.
в)
22
)(
2
)(
)(;
2
1
2)( xxyxz
x
xyxyxz
y
constx
yx
consty
x
.
г)
y
x
y
y
x
con stx
y
y
x
x
y
x
con sty
x
e
y
x
eze
y
ez
2
)(
)(
;
1
.
Пример 2. Найти частные производные функции
2
yz
xu
.
Решение. При дифференцировании по x функция является степенной, а
при дифференцировании по y и z – показательной. Находим
12
)
,(
22
)(
yz
x
yz
constz
consty
x
xyzxu
,
222
)
,(
ln)(ln)(ln)(
2222
zxxyzxxyzxxxu
yz
y
yz
y
yz
y
yz
constz
constx
y
,
.ln22ln
)(ln)(ln)(
22
222
22
)
,(
xxzyzyxx
zyxxyzxxxu
yzyz
z
yz
z
yz
z
yz
consty
constx
z
Упражнения к § 2
1. Найти все частные производные данных функций по каждой из
независимых переменных.
1.1.
. 1.16.
3
23
3
2
1
2 xxyyxyxz
.
1.2.
532
)123( xxyz
. 1.17.
yx
yx
z
22
2
.
1.3.
3
4
x
y
yxz
. 1.18.
22
)2ln( xyz
. 
          x                                                         x        1                                x
            (y 1) y             ex   2y
                                           ( 2)                                             2e x     2y
                                                                                                                        2e x      2y
                                                                                                                                       .
          2                                                         2        y2                              2y2
                                                                             1
     в)        zx          (x2 y            x)x         2 xy                     ;              zy        (x2 y        x) y        x2 .
          ( y const )                                                    2 x              ( x const )

                                x                   x                                 x                       x
                                y           1 y                                       y                   x y
     г)        z
               x            e                 e ;                   zy            e                          e .
          ( y const)                        y                   ( x const)                                y2
                                     x                                                          y

                                                                                                                          2
     Пример 2. Найти частные производные функции u                                                                     x yz .
     Решение. При дифференцировании по x функция является степенной, а
при дифференцировании по y и z – показательной. Находим
                            2                               2
          ux           ( x yz ) x         yz 2 x yz             1
                                                                    ,
     ( y const,
     z const)

                            2                   2                                           2                                 2
          uy           ( x yz ) y         x yz ln x ( yz 2 ) y                       x yz ln x z 2 ( y) y               x yz ln x z 2 ,
     ( x const,
     z const )

                            2                   2                                          2
          uz           ( x yz ) z         x yz ln x ( yz 2 ) z                       x yz ln x y ( z 2 ) z
     ( x const,
     y const )
               2                                        2
          x yz ln x 2 zy                  2 zy x yz ln x .




                                                                Упражнения к § 2


     1. Найти все частные производные данных функций по каждой из
независимых переменных.
                                                                                                                          1 3 2
     1.1. z         5x 3 y xy4                  3y 8 .                                         1.16. z       2x y           x y            3 xy   3
                                                                                                                                                      x.
                                                                                                                          2
                                                                                                             x2 2y2
     1.2. z         (3xy2            2x 3 1) 5 .                                                1.17. z             .
                                                                                                               x y
                                         y
     1.3. z         4
                         x y         3
                                            .                                                   1.18. z      ln( y 2      2 x) 2 .
                                          x

                                                                             17

Страницы