Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

15
x
zyxfzyxxf
x
u
x
u
u
x
x
x
x
),,(),,(
limlim
00
,
y
zyxfzyyxf
y
u
y
u
u
y
y
y
y
),,(),,(
limlim
00
,
z
zyxfzzyxf
z
u
z
u
u
z
z
z
z
),,(),,(
limlim
00
.
Геометрический смысл частных производных функции двух
переменных. Графиком функции
),( yxfz
является некоторая поверхность
Ф в трехмерном пространстве. Зафиксируем переменную
y
, положив
0
yy
.
В трехмерном пространстве условие y = y
0
описывает плоскость P,
перпендикулярную оси Oy и пересекающую эту ось в точке y
0
. Плоскость P
пересекается с графиком функции z = f(x,y), вдоль некоторой линии (как
показано на рисунке), заданной уравнением
),(
0
yxfz
. По определению
частной производной функции
),( yxfz
по переменной
x
в точке
имеем:
)(
),(),(
lim),(
0
0000
0
00
x
x
yxfyxxf
yxf
x
x
,
где
),()(
0
yxfx
функция одной переменной
x
.Из геометрического смысла
производной для функции одной переменной, заключаем, что
tgyxf
x
),(
00
,
где α — угол между осью Ох и касательной, проведенной к кривой
),()(
0
yxfx
в точке
)),(,,(
00000
yxfyxM
(рис.1).
Аналогично,
tgyxf
y
),(
00
, где β —
угол между осью Оу и касательной,
проведенной к кривой
),()(
0
yxfy
в
точке
)),(,,(
00000
yxfyxM
(рис.3).
Частные производные характеризуют
скорость изменения функции в направлении
соответствующих координатных осей.
Рис. 1 
                                     u                       u
                                                             x                      f (x       x, y, z )     f ( x, y, z )
                            ux                 lim                        lim                                                     ,
                                     x         x   0         x            x    0                      x
                                     u                       y   u                  f ( x, y       y, z )        f ( x, y , z )
                            uy                 lim                        lim                                                     ,
                                     y         y   0         y            y     0                      y
                                      u                      u
                                                             z                      f ( x, y, z       z)     f ( x, y, z )
                            uz                 lim                        lim                                                     .
                                      z        z     0       z            z    0                       z
           Геометрический                 смысл                   частных                  производных                  функции                двух
переменных. Графиком функции z                                            f ( x, y ) является некоторая поверхность

Ф в трехмерном пространстве. Зафиксируем переменную y , положив y                                                                                    y0 .
В      трехмерном           пространстве                     условие                   y = y0      описывает                плоскость                 P,
перпендикулярную оси Oy и пересекающую эту ось в точке y0. Плоскость P
пересекается с графиком функции z = f(x,y), вдоль некоторой линии (как
показано на рисунке), заданной уравнением z                                                         f ( x, y 0 ) . По определению
частной производной функции z                                        f ( x, y ) по переменной x в точке ( x0 , y 0 )
имеем:
                                                                 f ( x0             x, y0 )     f ( x0 , y 0 )
                            f x ( x0 , y 0 )       lim                                                                  ( x0 ) ,
                                                   x     0                               x
где        ( x)   f ( x, y 0 ) функция одной переменной x .Из геометрического смысла

производной для функции одной переменной, заключаем, что f x ( x0 , y 0 )                                                                       tg ,
где α — угол между осью Ох и касательной, проведенной к кривой
    ( x)     f ( x, y 0 ) в точке M 0 ( x0 , y 0 , f ( x0 , y 0 )) (рис.1).

                                                                              Аналогично, f y ( x0 , y0 )                    tg , где β —

                                                                 угол           между             осью      Оу          и         касательной,
                                                                 проведенной к кривой                                   ( y)          f ( x0 , y )     в
                                                                 точке M 0 ( x0 , y 0 , f ( x0 , y 0 )) (рис.3).
                                                                              Частные производные характеризуют
                                                                 скорость изменения функции в направлении
                                                                 соответствующих координатных осей.
                   Рис. 1
                                                                          15

Страницы