Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

21
§ 3. Дифференцируемость функции двух переменных.
Необходимое условие дифференцируемости функции двух
переменных. Достаточное условие дифференцируемости функции
двух переменных
1. Определение дифференцируемости функции двух переменных.
Пусть функция
),( yxfz
определена в некоторой окрестности точки
),(
00
yx
.
Полным приращением функции
),( yxfz
в точке
),(
00
yx
, соответствующим
приращениям
x
и
y
переменных х и у, называется разность
),(),(),(
000000
yxfyyxxfyxfz
.
Определение 1. Функция
),( yxfz
называется дифференцируемой в
точке
),(
00
yx
, если ее полное приращение в этой точке можно представить в
виде
yyxxyxyBxAz ),(),(
, (3.1)
где А и В – некоторые числа, не зависящие от
x
и
y
, а
),( yx
и
),( yx
- функции, бесконечно малые при
0x
и
, т.е.
0),(lim
0
0
yx
y
x
и
0),(lim
0
0
yx
y
x
.
Отметим, что условие (3.1) можно переписать в виде
),( yxyBxAz
, (3.1’)
где
0),(lim
0
0
yx
y
x
, а
22
00000
)()()),(),,(( yxyyxxМyxМ
,
то есть
)(),( oyx
.
Покажем это:
y
yx
x
yxyyxxyx ),(),(),(),(
. 
                 § 3. Дифференцируемость функции двух переменных.
         Необходимое условие дифференцируемости функции двух
переменных. Достаточное условие дифференцируемости функции
                                          двух переменных


         1. Определение дифференцируемости функции двух переменных.
Пусть функция z           f ( x, y ) определена в некоторой окрестности точки ( x0 , y 0 ) .
Полным приращением функции z                        f ( x, y ) в точке ( x0 , y 0 ) , соответствующим
приращениям x и y переменных х и у, называется разность
                           z       f ( x0 , y 0 )   f ( x0     x, y 0        y)      f ( x0 , y 0 ) .
         Определение 1. Функция z                   f ( x, y ) называется дифференцируемой в
точке ( x0 , y 0 ) , если ее полное приращение в этой точке можно представить в
виде
                           z     A x      B y        ( x, y ) x             ( x, y ) y ,                            (3.1)
где А и В – некоторые числа, не зависящие от                           x и y, а          ( x, y ) и           ( x, y )
- функции, бесконечно малые при                      x       0 и        y     0 , т.е. lim              ( x, y )     0 и
                                                                                            x   0
                                                                                            y   0


lim      ( x, y )    0.
 x   0
 y   0


         Отметим, что условие (3.1) можно переписать в виде
                                      z     A x B y            ( x, y ) ,                                          (3.1’)

где lim ( x, y )          0, а            ( М 0 ( x0 , y 0 ), М ( x0        x, y 0       y ))       ( x) 2        ( y) 2 ,
         x   0
         y   0


то есть ( x, y )          o( ) .
         Покажем это:
                                                                             x                          y
                    ( x, y ) x         ( x, y ) y            ( x, y )                ( x, y )                 .




                                                      21

Страницы