Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

22
Обозначим функцию, стоящую в скобке правой части равенства, через
),( yx
. Учитывая, что
1
x
и
1
y
, получим, что
0),(lim
0
0
yx
y
x
, если
0),(lim
0
0
yx
y
x
и
0),(lim
0
0
yx
y
x
.
Для функции одной переменной справедливы следующие утверждения:
1) если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой
точке;
2) если функция дифференцируема в точке, то она имеет в этой точке
конечную производную, и наоборот, если функция имеет в некоторой точке
конечную производную, то она дифференцируема в этой точке. То есть для
функции одной переменной понятия “дифференцируемость функции в точке” и
“существование в точке конечной производной функции” эквивалентны.
Рассмотрим эти свойства для функций двух переменных.
Из определения дифференцируемости функции
),( yxfz
в точке
следует, что если данная функция дифференцируема в точке
),(
00
yx
, то она в
этой точке непрерывна (то есть это свойство аналогично случаю функций
одной переменной).
Действительно, если в точке
),(
00
yx
функция
),( yxfz
дифференцируема, то ее полное приращение в этой точке
z
представимо в
виде
,
где
0),(,0),( yxyx
при
0x
и
0y
. Откуда и следует, что
0lim
0
0
z
y
x
,
а это и означает, что в точке
),(
00
yx
функция
),( yxfz
непрерывна.
Со вторым свойством дело обстоит иначе. Рассмотрим эту связь
подробнее. 
Обозначим функцию, стоящую в скобке правой части равенства, через
                                   x              y
 ( x, y ) . Учитывая, что               1и                 1, получим, что lim ( x, y )                 0 , если
                                                                                      x   0
                                                                                      y   0


lim       ( x, y )   0 и lim     ( x, y )    0.
 x    0                  x   0
 y    0                  y   0


          Для функции одной переменной справедливы следующие утверждения:
          1) если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой
точке;
          2) если функция дифференцируема в точке, то она имеет в этой точке
конечную производную, и наоборот, если функция имеет в некоторой точке
конечную производную, то она дифференцируема в этой точке. То есть для
функции одной переменной понятия “дифференцируемость функции в точке” и
“существование в точке конечной производной функции” эквивалентны.
          Рассмотрим эти свойства для функций двух переменных.
          Из определения дифференцируемости функции z                                         f ( x, y ) в точке
следует, что если данная функция дифференцируема в точке ( x0 , y 0 ) , то она в
этой точке непрерывна (то есть это свойство аналогично случаю функций
одной переменной).
          Действительно,         если    в     точке              ( x0 , y 0 )      функция         z   f ( x, y )
дифференцируема, то ее полное приращение в этой точке                                         z представимо в
виде
                             z    A x    B y              ( x, y ) x             ( x, y ) y ,
где       ( x, y )   0, ( x, y )        0 при x               0и y               0 . Откуда и следует, что
                                                  lim         z   0,
                                                      x   0
                                                      y   0


а это и означает, что в точке ( x0 , y 0 ) функция z                     f ( x, y ) непрерывна.
          Со вторым свойством дело обстоит иначе. Рассмотрим эту связь
подробнее.



                                                      22

Страницы