Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

23
2. Необходимое условие дифференцируемости функции двух
переменных. Достаточное условие дифференцируемости функции двух
переменных.
Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция
),( yxfz
дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке она имеет обе
частные производные.
Доказательство. В самом деле, пусть функция
),( yxfz
в точке
),(
00
yx
дифференцируема. Тогда имеет место соотношение
yyxxyxyBxAz ),(),(
.
Положим в нем
0y
, тогда
xxxAz
x
)0,(
.
Деля на
0x
и переходя к пределу при
0x
, получим:
AxA
x
z
x
x
x
))0,((limlim
00
.
Это означает, что в точке
),(
00
yx
существует частная производная
функции
),( yxfz
по переменной
и
Ayx
x
z
),(
00
.
Аналогично доказывается, что в точке
),(
00
yx
существует частная
производная по переменной y и
Вyx
y
z
),(
00
.
Следствие. Если функция
),( yxfz
дифференцируема в точке
),(
00
yx
,
то ее приращение в этой точке имеет вид
yyxxyxyyx
y
z
xyx
x
z
yxz ),(),(),(),(),(
000000
.
Теорема 2 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция
),( yxfz
имеет частные производные в некоторой окрестности точки
),(
000
yxM
и эти производные непрерывны в самой точке
0
M
, то функция
дифференцируема в точке
0
M
. 
     2.    Необходимое                 условие              дифференцируемости                     функции     двух
переменных. Достаточное условие дифференцируемости функции двух
переменных.
     Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция
z   f ( x, y ) дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке она имеет обе
частные производные.
     Доказательство. В самом деле, пусть функция z                                                 f ( x, y ) в точке
( x 0 , y 0 ) дифференцируема. Тогда имеет место соотношение
                                 z     A x          B y           ( x, y ) x            ( x, y ) y .
Положим в нем              y   0 , тогда

                                                    x   z    A x           ( x , 0) x .
     Деля на x 0 и переходя к пределу при                                       x      0 , получим:
                                                    xz
                                         lim                 lim ( A          ( x,0))       A.
                                          x     0   x         x   0


     Это означает, что в точке ( x0 , y 0 ) существует частная производная
                                                                      z
функции z       f ( x, y ) по переменной x и                            ( x0 , y 0 )   A.
                                                                      x
     Аналогично доказывается, что в точке ( x0 , y0 ) существует частная
                                                    z
производная по переменной y и                         ( x0 , y 0 )      В.
                                                    y
     Следствие. Если функция z                              f ( x, y ) дифференцируема в точке ( x0 , y0 ) ,
то ее приращение в этой точке имеет вид
                               z                            z
          z ( x0 , y 0 )         ( x0 , y 0 )       x         ( x0 , y 0 )     y       ( x, y) x       ( x, y) y .
                               x                            y
     Теорема 2 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция
z   f ( x, y ) имеет частные производные в некоторой окрестности точки
M 0 ( x0 , y 0 ) и эти производные непрерывны в самой точке M 0 , то функция

дифференцируема в точке M 0 .


                                                               23

Страницы