Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

25
для функции двух переменных:
1)
),( yxfz
дифференцируема в точке
),(
00
yx
),( yxfz
непрерывна в
точке
),(
00
yx
;
2)
В заключение обратим внимание на еще одно отличие функции двух
переменных от функции одной переменной. Из существования первых частных
производных в точке не следует непрерывность функции нескольких
переменных в этой точке. Рассмотрим, например, функцию
0при1
,0при0
),(
xy
xy
yxf
.
График этой функции во всех точках, не принадлежащих осям координат
Ox и Oy, представляет собой плоскость,
1z
, параллельную плоскости xOy.
Сами оси координат Ox и Oy также принадлежат графику функции. Очевидно,
что в точке (0,0) функция имеет частные производные по обоим аргументам.
Причем обе частные производные равны нулю. Очевидно также, что в любой
окрестности точки (0,0) можно найти точку M такую, что f(M) = 1, в то время
как f(0, 0) = 0. То есть функция не является непрерывной в точке (0,0). (Пример
взят из [3]).
),( yxfz
дифференцируема
в точке
),(
00
yx
существуют
),(
00
yx
x
z
и
;
существуют
x
z
и
y
z
в некоторой
окрестности точки
),(
00
yx
и эти
производные непрерывны в самой
точке
),(
00
yx
. 
                                     для функции двух переменных:
1) z     f ( x, y ) дифференцируема в точке ( x0 , y 0 )                        z     f ( x, y ) непрерывна в
точке ( x0 , y 0 ) ;
2)
                                                                                z                z
                                                        существуют                ( x0 , y 0 ) и   ( x0 , y 0 ) ;
                                                                                x                y
                   z    f ( x, y )
              дифференцируема
                в точке ( x0 , y 0 )                   существуют
                                                                                 z
                                                                                   и
                                                                                            z
                                                                                              в некоторой
                                                                                 x          y
                                                       окрестности точки                    ( x0 , y 0 )   и эти
                                                       производные непрерывны в самой
                                                       точке ( x 0 , y 0 ) .



        В заключение обратим внимание на еще одно отличие функции двух
переменных от функции одной переменной. Из существования первых частных
производных в точке не следует непрерывность функции нескольких
переменных в этой точке. Рассмотрим, например, функцию
                                                           0 при xy 0,
                                         f ( x, y )                         .
                                                           1 при xy     0
        График этой функции во всех точках, не принадлежащих осям координат
Ox и Oy, представляет собой плоскость, z 1, параллельную плоскости xOy.
Сами оси координат Ox и Oy также принадлежат графику функции. Очевидно,
что в точке (0,0) функция имеет частные производные по обоим аргументам.
Причем обе частные производные равны нулю. Очевидно также, что в любой
окрестности точки (0,0) можно найти точку M такую, что f(M) = 1, в то время
как f(0, 0) = 0. То есть функция не является непрерывной в точке (0,0). (Пример
взят из [3]).


                                                      25

Страницы