Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 27 стр.

                        § 4. Дифференциал функции двух переменных


        1. Полный дифференциал функции двух переменных. Пусть функция
z     f ( x, y ) дифференцируема в точке ( x, y ) , тогда ее полное приращение в
этой точке можно представить в виде

                                 z    f x ( x, y ) x        f y ( x, y ) y           x         y,                      (4.1)

где     ( x, y ) и        ( x, y ) - функции, бесконечно малые при                                  x     0и y           0.
        Определение. Полным дифференциалом                                        dz      функции          z       f ( x, y ) ,
дифференцируемой в точке ( x, y ) , называется главная часть ее полного
приращения в этой точке, линейная относительно приращений аргументов                                                     x и
    y , то есть

                                       dz        f x ( x, y )    x    f y ( x, y )       y.                            (4.2)

        Если положить z              x , то dz           dx 1        x 0      y          x , т.е. dx        x , если x –
независимая переменная. Аналогично, если y – независимая переменная, то
dy       y . Значит, дифференциалы независимых переменных совпадают с
приращениями этих переменных, и можно записать полный дифференциал
функции в следующем виде:

                                            dz      f x ( x, y )dx     f y ( x, y )dy .                                (4.3)

        Полный            дифференциал                   функции,            который                ещё        называют
дифференциалом первого порядка, зависит от независимых переменных х, у и
от их дифференциалов dх, dу. Заметим, что дифференциалы dх, dу не зависят от
х и у, если х, у независимые переменные.
        Замечание. Для функции n переменных u                                            f ( x1 , x 2 ,, x n ) полный
дифференциал определяется выражением

          du      f x ( x1 , x 2 ,, x n )dx1
                    1
                                                   f x ( x1 , x 2 ,, x n )dx2 
                                                     2
                                                                                              f x ( x1 , x 2 ,, x n )dxn .
                                                                                                n



        Пример 1. Найти полный дифференциал функции z                                          ln( x 2    y2 ) .

                                                            27