Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 28 стр.

                                                                 2x                                  2y
        Решение. Так как z x                                 2            2
                                                                              , zy               2
                                                                                                                , то по формуле полного
                                                         x            y                      x            y2
дифференциала находим
                                                                         2x                           2y
                                                    dz               2            2
                                                                                      dx          2
                                                                                                                dy .
                                                                 x            y               x            y2
        2.          Применение                 полного                        дифференциала                               в          приближенных
вычислениях. При достаточно малых                                                          x и              y для дифференцируемой
функции справедливо приближенное равенство (с учетом того, что именно
первое слагаемое в правой части равенства (4.1) является главной частью
приращения функции)
                                  z     dz , то есть f ( x0                             x, y 0            y)        f ( x0 , y 0 )    dz
или

                 f ( x0        x, y 0        y)         f ( x0 , y 0 )                f x ( x0 , y 0 )          x      f y ( x0 , y 0 )       y.      (4.4)

        Эту формулу используют в приближенных вычислениях.
        Пример 2. Вычислить приближенно (0,98) 2,01 .

        Решение. Рассмотрим функцию z                                                       x y . Нужно найти приближенное
значение этой функции при x                                  0,98 и y                      2,01. Положим x0                          1, y 0    2 . Тогда
  x    x       x0     0,98 1             0,02 ,              y           y        y0       2,01 2               0,01 .        Найдем               частные
производные функции:

                                        zx     (x y ) x              y xy 1, zy                   (x y ) y           x y ln x .

Тогда          f x ( x0 ; y 0 )       f x (1, ;2)       2; f y ( x0 ; y 0 )                      f y (1, ;2) 12 ln 1 0 .                      Применив

формулу (4.4), получим

(0,98) 2, 01        f (1; 2)      f x (1; 2)        x        f y (1; 2)                y 12            2 ( 0,02) 0 0,01 0,96 .

        Формула (4.4) применяется и для нахождения погрешностей вычислений.
При вычислении абсолютной погрешности величины                                                                              z , находящейся в
функциональной зависимости от n переменных x1 , x 2 ,..., x n , измеренных с
абсолютными погрешностями                                 x1 , x 2 ,..., x n , применяют формулу

                                                                              28