Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

24
Доказательство. Дадим переменным
0
x
и
0
y
столь малые приращения
x
и
y
, чтобы точка
),(
000
yyxxM
не вышла за пределы указанной
окрестности точки
0
M
. Полное приращение функции в точке
0
M
),(),(
0000
yxfyyxxfz
можно записать в виде
)),(),(()),(),((
00000000
yxfyyxfyyxfyyxxfz
.
Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции:
первая – по переменной
x
, вторая – по переменной
. Преобразует каждую из
этих разностей по формуле Лагранжа. Получим:
yyyxfxyyxxfz
yx
),(),(
10000
)10,10(
1
.
Так как производные
x
f
и
y
f
непрерывны в точке
0
M
, то
),(),(lim
0000
0,0
yxfyyxxf
x
yx
x
,
),(),(lim
00100
0,0
yxfyyxf
y
yx
y
.
Отсюда
),(),(
0000
yxfyyxxf
xx
,
),(),(
00100
yxfyyxf
yy
,
где
),( yx
и
),( yx
- бесконечно малые функции при
0x
и
0y
. Тогда
yxyyxfxyxfz
yx
),(),(
0000
,
а это и означает, что функция
),( yxfz
дифференцируема в точке
0
M
.
Замечание. Теорема 2 имеет большое значение для установления
дифференцируемости функции, так как проще проверить непрерывность
частных производных, чем непосредственно проверять дифференцируемость
функции с помощью определения.
Таким образом,
для функции одной переменной:
1)
)(xfy
дифференцируема в точке
0
x
)(xfy
непрерывна в точке
0
x
;
2)
)(xfy
дифференцируема в точке
0
x
существует
)(
0
xf
; 
         Доказательство. Дадим переменным x 0 и y 0 столь малые приращения
 x и           y , чтобы точка M 0 ( x0                            x, y 0       y ) не вышла за пределы указанной
окрестности              точки              M0.        Полное             приращение                 функции                 в     точке              M0
 z       f ( x0         x, y 0          y)       f ( x0 , y 0 )             можно                    записать                     в              виде
 z      ( f ( x0         x, y 0         y)        f ( x0 , y 0        y )) ( f ( x0 , y 0             y)           f ( x0 , y 0 )) .
         Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции:
первая – по переменной x , вторая – по переменной y . Преобразует каждую из
этих разностей по формуле Лагранжа. Получим:

              z     f x ( x0            x, y 0         y) x         f y ( x0 , y 0           1    y ) y (0                 1, 0        1       1) .

         Так как производные f x и f y непрерывны в точке M 0 , то


 lim f x ( x0               x, y 0           y)       f x ( x0 , y 0 ) , lim f y ( x0 , y0                     1    y)      f y ( x0 , y 0 ) .
 x    0, y    0                                                             x   0, y     0

         Отсюда

             f x ( x0          x, y 0        y)        f x ( x0 , y 0 )         , f y ( x0 , y 0           1       y)     f y ( x0 , y 0 )            ,

где               ( x, y ) и                       ( x, y ) - бесконечно малые функции при                                                 x          0 и
 y       0 . Тогда

                                        z         f x ( x0 , y 0 ) x        f y ( x0 , y 0 ) y                 x          y,

а это и означает, что функция z                                   f ( x, y ) дифференцируема в точке M 0 .
         Замечание. Теорема 2 имеет большое значение для установления
дифференцируемости функции, так как проще проверить непрерывность
частных производных, чем непосредственно проверять дифференцируемость
функции с помощью определения.
         Таким образом,
                                                  для функции одной переменной:
1) y         f (x) дифференцируема в точке x 0                                       y           f (x) непрерывна в точке x 0 ;
2) y         f (x) дифференцируема в точке x 0                                       существует f ( x0 ) ;

                                                                          24

Страницы