Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

31
§ 5. Частные производные и дифференциалы высших
порядков
1. Частные производные высших порядков. Предположим, что
функция
),( yxfz
определена в области
D
и имеет в этой области частные
производные
x
z
и
y
z
. Эти частные производные являются функциями двух
переменных, определенными в области
D
.
Частными производными второго порядка функции
),( yxfz
называются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются
следующим образом:
xxxx
zz )(
или
x
z
x
x
z
2
2
;
yxxy
zz )(
или
y
z
xxy
z
2
;
xyyx
zz )(
или
;
yyyy
zz )(
или
y
z
y
y
z
2
2
.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные
третьего, четвертого и более высоких порядков. Например, для функции
),( yxfz
имеем:
2
2
x
z
x
z
xxx
,
2
2
x
z
y
z
xxy
и т. д.
А запись
knk
n
yx
z
означает, что функция продифференцирована k раз по
переменной x, а затем n-k раз по переменной y.
Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по
различным переменным, называются смешанными частными производными.
Для функции
),( yxfz
таковыми, например, являются производные
yxxy
zz и
.
Аналогично определяются частные производные высших порядков и для
функции большего числа переменных. 
             § 5. Частные производные и дифференциалы высших
                                                              порядков


      1. Частные производные высших порядков. Предположим, что
функция z       f ( x, y ) определена в области D и имеет в этой области частные
                  z              z
производные         и              . Эти частные производные являются функциями двух
                  x              y
переменных, определенными в области D .
      Частными          производными                               второго          порядка             функции               z    f ( x, y )
называются частные производные от ее частных производных первого порядка.
      Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются
следующим образом:
                                     2                                                                           2
                                         z                   z                                                 z                  z
      z xx   ( z x ) x или               2
                                                               ;                 z xy       ( z x ) y или                           ;
                                     x           x           x                                               y x          x       y
                                     2                                                                       2
                             z                                z                                                  z                z
      z yx   ( z y ) x или                                      ;                z yy       ( z y ) y или            2
                                                                                                                                    .
                           x y                       y        x                                              y           y        y
      Аналогично            определяются                           и    обозначаются                   частные           производные
третьего, четвертого и более высоких порядков. Например, для функции
z   f ( x, y ) имеем:
                                                               2                               2
                                                                   z                               z
                                         z xxx                         , z xxy                         и т. д.
                                                         x     x2                       y     x2
                            n
                                z
      А запись          k
                                             означает, что функция продифференцирована k раз по
                    x           yn   k


переменной x, а затем n-k раз по переменной y.
      Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по
различным переменным, называются смешанными частными производными.
Для функции z         f ( x, y ) таковыми, например, являются производные z xy и z yx .

      Аналогично определяются частные производные высших порядков и для
функции большего числа переменных.
                                                                       31

Страницы