Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

33
Аналогичное утверждение справедливо и для частных производных более
высокого порядка.
Теорема 2 (Шварц). Если частные производные любого порядка
непрерывны в некоторой области, то смешанные производные одного порядка,
отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны в этой области.
Доказательство. Пусть функция
),( yxfz
определена в области
D
и
имеет в этой области непрерывные частные производные
),( yxf
x
и
),( yxf
y
.
Возьмем любые точки
),( yxМ
и
),(
1
yyxxМ
из этой области.
Рассмотрим выражение
)),(),(()),(),(( yxfyyxfyxxfyyxxfA
.
Введем вспомогательную функцию
),(),()( yxfyyxfx
.
Тогда A запишется в виде
),()( yxxxA
.
Применив к этой разности теорему Лагранжа, получим
xyxxfyyxxfxxxA
xx
)),(),(()(
111
,
где
. Разность в скобке можно рассматривать как приращение функции
),(
1
yxxf
x
одной переменной у на отрезке с концами в точках у, у+Δу.
Применив еще раз теорему Лагранжа (уже по переменной у), получим
yxyyxxfyxyxxfA
xyyyyyx
),()),((
211
2
(
,
10
2
).
С другой стороны, А можно переписать в виде
)),(),(()),(),(( yxfyxxfyyxfyyxxfA
.
Введя вспомогательную функцию
),(),()( yxfyxxfx
и рассуждая
аналогично, получим
),()( yxyyA
yyyxfyyxxfyyy
yy
)),(),(()(
333
         Аналогичное утверждение справедливо и для частных производных более
высокого порядка.
         Теорема 2 (Шварц). Если частные производные любого порядка
непрерывны в некоторой области, то смешанные производные одного порядка,
отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны в этой области.
         Доказательство. Пусть функция z                                                  f ( x, y ) определена в области D и
имеет в этой области непрерывные частные производные f x ( x, y ) и f y ( x, y) .

Возьмем любые точки М ( x, y ) и М 1 ( x                                         x, y            y ) из этой области.
         Рассмотрим выражение
                         A       ( f (x         x, y         y)       f (x           x, y )) ( f ( x, y                y)           f ( x, y )) .
Введем вспомогательную функцию
                                                           ( x)       f ( x, y            y)         f ( x, y ) .
Тогда A запишется в виде
                                                             A         (x            x)         ( x, y ) .
Применив к этой разности теорему Лагранжа, получим
                        A         (x        1   x)      x        ( f x (x        1    x, y            y)      f x (x           1   x, y ))     x,
где 0            1    1 . Разность в скобке можно рассматривать как приращение функции
f x (x       1       x, y ) одной переменной у на отрезке с концами в точках у, у+Δу.
Применив еще раз теорему Лагранжа (уже по переменной у), получим
             A       ( f x (x      1     x, y )) y   y y     2    y    x     y            f xy ( x       1   x, y          2       y)    x     y

(0       1       1, 0        2    1 ).
         С другой стороны, А можно переписать в виде
                         A       ( f (x         x, y         y)       f ( x, y             y )) ( f ( x             x, y )          f ( x, y )) .
Введя вспомогательную функцию                                               ( x)          f (x          x, y )      f ( x, y ) и рассуждая
аналогично, получим
                                                           A          (y   y)   ( x, y )
                        (y        3    y)       y      ( f y (x        x, y 3 y) f y ( x, y                            3       y))       y


                                                                            33

Страницы