Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

35
порядком дифференцирования, в области D равны), то дифференциалы
высшего порядка вычисляются по формулам:
2
2
22
2
2
2
2
2 dy
y
z
dxdy
yx
z
dx
x
z
zd
,
3
3
3
2
2
3
2
2
3
3
3
3
3
33 dy
y
z
dxdy
yx
z
dydx
yx
z
dx
x
z
zd
,…
Эти формулы напоминают разложение двучлена в соответствующей
степени. Поэтому выражение для дифференциала n-ого порядка символически
записывают в виде
zdy
y
dx
x
zd
n
n
.
Это выражение формально раскрывается по биномиальному закону.
Отметим еще раз, что полученные формулы справедливы лишь в случае,
когда переменные х и у функции
),( yxfz
являются независимыми.
Пример 2. Найти дифференциал второго порядка функции
2233
yxyxz
.
Решение. Найдем сначала частные производные функции второго
порядка:
22
23 xyx
x
z
;
yxy
y
z
22
23
;
2
2
2
26 yx
x
z
x
x
z
;
;
xy
y
z
xxy
z
4
2
(
yx
z
xy
z
22
, так как производные второго порядка непрерывны на всей
плоскости). Тогда
2
2
22
2
2
2
2
2 dy
y
z
dxdy
yx
z
dx
x
z
zd
порядком дифференцирования, в области D равны), то дифференциалы
высшего порядка вычисляются по формулам:
                                                               2                                         2                       2
                                                  2                z                2            z                                   z
                                                 d z               2
                                                                               dx            2     dxdy                              2
                                                                                                                                          dy 2 ,
                                                               x                               x y                            y
                                         3                                 3                                     3                                 3
                                             z                             z   z                                                                       z
                         d z 3
                                             3
                                                  dx   3
                                                           3 2   dx dy 3     2
                                                                               dxdy2         2
                                                                                                                                                       3
                                                                                                                                                           dy 3 ,…
                                         x                   x y         x y                                                                    y
         Эти формулы напоминают разложение двучлена в соответствующей
степени. Поэтому выражение для дифференциала n-ого порядка символически
записывают в виде
                                                                                                                         n

                                                               d nz                              dx              dy          z.
                                                                                         x                   y
Это выражение формально раскрывается по биномиальному закону.
         Отметим еще раз, что полученные формулы справедливы лишь в случае,
когда переменные х и у функции z                                                        f ( x, y ) являются независимыми.
         Пример                  2.          Найти                 дифференциал                                  второго                   порядка              функции
z       x3       y3      x2 y2 .
         Решение. Найдем сначала частные производные функции второго
порядка:
             z                                                         z
                      3x 2       2 xy2 ;                                           3y 2          2x 2 y ;
             x                                                         y
             2                                                                                   2
                 z               z                                                                   z               z
                 2
                                             6x 2 y ;      2
                                                                                                     2
                                                                                                                                 6 y 2x 2 ;
             x           x       x                                                           y               y       y
             2
               z                     z
                                                 4 xy
             y x             x       y
    2                2
    z                  z
(                        , так как производные второго порядка непрерывны на всей
  y x                x y
плоскости). Тогда
                                                               2                                     2                       2
                                                  2                z               2          z                                  z
                                                 d z               2
                                                                           dx             2     dxdy                             2
                                                                                                                                         dy 2
                                                           x                                x y                              y

                                                                                          35

Страницы