Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

37
9.
xyz
eu
. Найти
zyx
u
3
.
10.
23
yxz
. Проверить, что
23
5
32
5
yx
z
yx
z
.
11. Показать, что данные функции удовлетворяют указанным
соотношениям.
11.1
)ln(
yx
eez
,
1
y
z
x
z
и
0
2
2
2
2
2
2
yx
z
y
z
x
z
.
11.2.
)sincos( yyyxez
x
,
.
11.3.
22
1
ln
yx
z
,
.
12. При каком значении постоянной а функция
23
axyxz
удовлетворяет уравнению
.
13.
yxz
2
. Найти
zd
3
.
14.
)2sin( yxz
. Найти
zd
3
в точках
),0(
и
2
,
2
.
§ 6. Производные и дифференциал сложной функции
1. Производные сложной функции. Пусть
),( yxfz
, где
)(txx
,
)(tyy
. Тогда функция
))(),(( tytxfz
является функцией независимой
переменной t, а переменные
x
и
y
- это промежуточные переменные.
Теорема 1. Если
1) функции
)(txx
и
)(tyy
дифференцируемы в точке t, 
                                                      3
                                                    u
     9. u     e   xyz
                        . Найти                         .
                                                  x y z
                                                                                          5                       5
                                         z                                                                         z
     10. z        x y . Проверить, что 2 3
                    3       2
                                                                                                                       .
                                       x y                                                                      x3 y 2
     11.     Показать,                           что          данные                              функции                 удовлетворяют             указанным
соотношениям.
                                                                                                   2             2             2     2
                                                          z               z                            z             z           z
     11.1 z        ln( e        x
                                         e ),y
                                                                                      1и                                                 0.
                                                          x               y                        x2            y2            x y
                                                                                          2             2
                        x                                                                     z             z
     11.2. z        e ( x cos y                       y sin y) ,                                                     0.
                                                                                      x2               y2
                                                                  2                   2
                                         1                            z                   z
     11.3. z        ln                                ,               2
                                                                                                   0.
                                    x2           y2               x                   y2

     12.     При                каком                 значении                            постоянной                       а       функция      z    x3   axy2
                                                          2                   2
                                                              z                   z
удовлетворяет уравнению                                       2
                                                                                              0.
                                                          x                   y2

     13. z        x 2 y . Найти d 3 z .

     14. z        sin( 2 x               y ) . Найти d 3 z в точках (0, ) и                                                           , .
                                                                                                                                     2 2




             § 6. Производные и дифференциал сложной функции


     1. Производные сложной функции. Пусть z                                                                                         f ( x, y ) , где x   x(t ) ,
y   y (t ) . Тогда функция z                                              f ( x(t ), y (t )) является функцией независимой
переменной t, а переменные x и y - это промежуточные переменные.
     Теорема 1. Если
     1) функции x                        x(t ) и y                    y (t ) дифференцируемы в точке t,


                                                                                              37

Страницы