Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

39
Пример 1. Пусть
y
exz
, где
3
3
tx
,
12
4
ty
. Тогда
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
или
32
83 txete
dt
dz
yy
, где
3
3
tx
,
12
4
ty
.
Замечание. Если, в частности,
),( yxfz
, где
, то для сложной
функции
))(,( xyxfz
согласно формуле (6.1) будем иметь:
dx
dy
y
z
x
z
dx
dz
,
так как
1
dx
dx
. Здесь
x
z
- частная производная по первому аргументу функции
двух переменных
),( yxf
, а
dx
dz
- обычная производная сложной функции одной
переменной x:
))(,( xyxfz
.
В случае, когда
),( yxfz
, где
)(yxx
, аналогично получаем:
y
z
dy
dx
x
z
dy
dz
(
y
z
- частная производная по второму аргументу функции
),( yxf
,
dy
dz
- полная
производная функции одной переменной y:
)),(( yyxfz
).
Пусть теперь
),( yxfz
, где
),( vuxx
,
),( vuyy
. То есть функция
)),(),,(( vuyvuxfz
является сложной функцией независимых переменных u и
v, а переменные x и y – промежуточные.
Теорема 2. Если
1) функции
),( vuxx
,
),( vuyy
дифференцируемы в точке
),( vu
,
2) функция
),( yxfz
дифференцируема в соответствующей точке
),( yx
,
где
),( vuxx
,
),( vuyy
,
то сложная функция
)),(),,(( vuyvuxfz
дифференцируема в точке
),( vu
,
причем ее частные производные в этой точке находятся по формулам:
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
,
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
. (6.2) 
        Пример 1. Пусть z             x e y , где x           t3   3, y       2t 4 1 . Тогда
        dz      z dx        z dy     dz
                                 или              e y 3t 2         xe y 8t 3 , где x         t3     3, y   2t 4 1 .
        dt      x dt        y dt     dt
        Замечание. Если, в частности, z                        f ( x, y ) , где y       y (x ) , то для сложной
функции z         f ( x, y ( x)) согласно формуле (6.1) будем иметь:
                                                dz            z      z dy
                                                                          ,
                                                dx            x      y dx
          dx                    z
так как          1 . Здесь        - частная производная по первому аргументу функции
          dx                    x
                                        dz
двух переменных f ( x, y ) , а             - обычная производная сложной функции одной
                                        dx
переменной x: z          f ( x, y ( x)) .
        В случае, когда z           f ( x, y ) , где x        x ( y ) , аналогично получаем:
                                                 dz           z dx        z
                                                 dy           x dy        y
    z                                                                 dz
(     - частная производная по второму аргументу функции f ( x, y ) ,    - полная
    y                                                                 dy
производная функции одной переменной y: z                              f ( x( y ), y ) ).
        Пусть теперь z             f ( x, y ) , где x         x(u , v) , y       y (u, v) . То есть функция
z    f ( x(u, v), y (u, v)) является сложной функцией независимых переменных u и
v, а переменные x и y – промежуточные.
        Теорема 2. Если
        1) функции x           x(u , v) , y   y (u, v) дифференцируемы в точке (u , v) ,
        2) функция z           f ( x, y ) дифференцируема в соответствующей точке ( x, y ) ,
где x     x(u , v) , y   y (u, v) ,
то сложная функция z                   f ( x(u, v), y (u, v)) дифференцируема в точке (u , v) ,
причем ее частные производные в этой точке находятся по формулам:
                           z        z x       z y                     z       z x           z y
                                                  ,                                             .             (6.2)
                           u        x u       y u                     v       x v           y v
                                                         39

Страницы