Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

41
Тогда
)cos(sinsin2)sin(coscos2 vdvuvduvuvdvuvduvudz
vdvvuvduuvdvvuvduu cossin2sin2cossin2cos2
2222
vdvuvduuvdvvuduvvu 2sin22cos2cossin4)sin(cos2
2222
.
Второй способ.
dv
v
z
du
u
z
dz
,
vuvuvuvyvx
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
2cos2sin2cos2sin2cos2
22
,
.2sin2cossin4cossin2cossin2
cos2sin2
2222
vuvvuvvuvvu
vuyvux
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
Тогда
vdvuvduudz 2sin22cos2
2
.
Упражнения к § 6
1.
22
yxyxz
, где
. Найти
dt
dz
и
dz
.
2.
)42cos(
2
yxtz
, где
t
t
y
t
x
ln
,
1
. Найти
dt
dz
и
dz
.
3.
)ln( yxez
xy
, где
33
1, tytx
. Найти
dt
dz
и
dz
.
4.
y
x
arctgz
1
, где
2
)1( x
ey
. Найти
dx
dz
и
dz
.
5.
22
xyyxz
, где
sin,cos yx
. Найти
z
,
z
и
dz
.
6.
z
xzyu
cos
1
2
, где
vtz
v
t
yvtx ,,
. Найти
t
u
,
v
u
и
du
. 
Тогда
dz     2u cos v(cos vdu u sin vdv) 2u sin v(sin vdu u cos vdv)

  2u cos 2 vdu 2u 2 sin v cos vdv 2u sin 2 vdu 2u 2 sin v cos vdv

  2u(cos 2 v sin 2 v)du 4u 2 sin v cos vdv 2u cos 2vdu 2u 2 sin 2vdv .

Второй способ.
        z           z
dz        du          dv ,
        u           v
 z      z      x        z     y
                                     2 x cos v 2 y sin v               2u cos 2 v 2u sin 2 v       2u cos 2v ,
 u      x      u        y     u
 z      z    x          z     y
                                     2 x u sin v 2 y u cos v
 v      x    v          y     v
     2u 2 sin v cos v 2u 2 sin v cos v                  4u 2 sin v cos v        2u 2 sin 2v .

Тогда dz        2u cos 2vdu 2u 2 sin 2vdv .




                                         Упражнения к § 6


                                                                             dz
1. z    x2     xy y 2 , где x            sin t , y          cos t . Найти       и dz .
                                                                             dt
                                                     1           t          dz
2. z    cos(2t 4 x 2              y) , где x           , y          . Найти    и dz .
                                                     t         ln t         dt
                                                                            dz
3. z    e xy ln( x          y) , где x t 3 , y 1 t 3 . Найти                   и dz .
                                                                            dt
                   x 1                        x )2              dz
4. z    arctg          , где y         e (1          . Найти       и dz .
                    y                                           dx
                                                                                  z       z
5. z    x 2 y xy2 , где x               cos , y               sin     . Найти         ,       и dz .

                              1                                     t                         u u
6. u    y2         xz             , где x            t v, y           , z   t v . Найти         ,   и du .
                            cos z                                   v                         t   v
                                                       41

Страницы