Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

40
2. Дифференциал сложной функции. Используя правило
дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный
дифференциал обладает свойством инвариантности формы: полный
дифференциал функции z=ƒ(х,у) сохраняет один и тот же вид независимо от
того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями
независимых переменных.
Покажем это. Пусть z=ƒ(х,у), где х и у — независимые переменные. Тогда
ее полный дифференциал (1-го порядка) имеет вид
dy
y
z
dx
x
z
dz
.
Рассмотрим теперь сложную функцию z=ƒ(х,у), где х = x(u,v), у = y(u,v),
т.е. z = f(x(u,v),y(u,v)) = F(u,v), где u и v — независимые переменные. Тогда
dv
v
F
du
u
F
dz
=
dv
v
z
du
u
z
=[по формулам (6.2)]=
=
dv
v
y
y
z
v
x
x
z
du
u
y
y
z
u
x
x
z
=
=
dy
dv
v
y
du
u
y
y
z
dx
dv
v
x
du
u
x
x
z
.
Следовательно, и в этом случае
dy
y
z
dx
x
z
dz
.
Замечание. Дифференциалы высших порядков свойством
инвариантности формы не обладают.
Пример 2. Найти полный дифференциал сложной функции
22
yxz
,
где
vuyvux sin,cos
.
Решение. Первый способ.
ydyxdxdy
y
z
dx
x
z
dz 22
,
,
vdvuvdudvvuduvuvuddy
vu
cossin)sin()sin()sin(
. 
        2.   Дифференциал                сложной         функции.             Используя        правило
дифференцирования             сложной        функции,        можно         показать,     что   полный
дифференциал          обладает         свойством       инвариантности             формы:       полный
дифференциал функции z=ƒ(х,у) сохраняет один и тот же вид независимо от
того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями
независимых переменных.
        Покажем это. Пусть z=ƒ(х,у), где х и у — независимые переменные. Тогда
ее полный дифференциал (1-го порядка) имеет вид
                                                    z         z
                                             dz       dx        dy .
                                                    x         y
        Рассмотрим теперь сложную функцию z=ƒ(х,у), где х = x(u,v), у = y(u,v),
т.е. z = f(x(u,v),y(u,v)) = F(u,v), где u и v — независимые переменные. Тогда
                       F              F      z         z
              dz         du             dv = du          dv =[по формулам (6.2)]=
                       u              v     u          v
                             z    x      z   y           z    x        z    y
                      =                        du                             dv =
                             x    u      y   u           x    v        y    v

                            z x     x                   z y     y
                       =         du   dv                     du   dv .
                            x 
                               u   v
                                                  y 
                                                           u   v
                                                              
                                        dx                           dy
                                                           z         z
        Следовательно, и в этом случае dz                    dx        dy .
                                                           x         y
        Замечание.           Дифференциалы              высших             порядков        свойством
инвариантности формы не обладают.
        Пример 2. Найти полный дифференциал сложной функции z                                  x2   y2 ,
где x    u cos v, y       u sin v .
        Решение. Первый способ.
              z           z
        dz      dx          dy    2 xdx 2 ydy ,
              x           y
        dx   d (u cos v)      (u cos v) u du (u cos v) v dv        cos vdu u sin vdv ,
        dy   d (u sin v)     (u sin v) u du (u sin v) v dv        sin vdu u cos vdv .
                                                  40

Страницы