Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

38
2) функция
),( yxfz
дифференцируема в точке
),( yx
, где
)(txx
,
)(tyy
,
то сложная функция
))(),(( tytxfz
также дифференцируема в точке t и ее
производная вычисляется по формуле
dt
dy
yxf
dt
dx
yxf
dt
dz
yx
),(),(
или
tytxt
yyxfxyxfz ),(),(
. (6.1)
Доказательство. Дадим переменной t приращение
t
. Тогда x, y, а,
следовательно, и z получат свои приращения
,
y
и
z
. Причем
),(),( yxfyyxxfz
.
Так как функция
),( yxfz
дифференцируема в точке
),( yx
, где
)(txx
,
)(tyy
, то ее приращение
z
можно записать в виде
yxyyxfxyxfz
yx
),(),(
,
где
),( yx
и
),( yx
- бесконечно малые функции при
0x
и
0y
.
Разделим обе части равенства на
t
(
0t
):
t
y
t
x
t
y
yxf
t
x
yxf
t
z
yx
),(),(
.
Устремим
t
к нулю. Тогда
x
и
y
будут стремиться к нулю, так как
функции
)(txx
и
)(tyy
дифференцируемы в точке t, а, следовательно, и
непрерывны в этой точке, а потому и будут стремиться к нулю. Кроме
того по условию существуют пределы
dt
dx
t
x
t 0
lim
и
dt
dy
t
y
t 0
lim
.
Таким образом, существует предел левой части равенства, а,
следовательно, существует предел и правой части равенства
dt
dz
t
z
t 0
lim
,
причем
dt
dy
yxf
dt
dx
yxf
dt
dz
yx
),(),(
. 
          2) функция z                 f ( x, y ) дифференцируема в точке ( x, y ) , где x                                          x(t ) ,
y       y (t ) ,
то сложная функция z                            f ( x(t ), y (t )) также дифференцируема в точке t и ее
производная вычисляется по формуле
           dz                     dx                     dy
                    f x ( x, y)            f y ( x, y)      или z t                f x ( x, y ) xt         f y ( x, y ) y t .       (6.1)
           dt                     dt                     dt
          Доказательство. Дадим переменной t приращение                                                           t . Тогда x, y, а,
следовательно, и z получат свои приращения                                             x , y и z . Причем
                                                   z     f (x           x, y          y)       f ( x, y ) .
          Так как функция z                            f ( x, y ) дифференцируема в точке ( x, y ) , где
x       x(t ) , y     y (t ) , то ее приращение z можно записать в виде

                                           z     f x ( x, y ) x           f y ( x, y ) y              x         y,

где                ( x, y ) и                   ( x, y ) - бесконечно малые функции при                                         x     0 и
    y      0.
          Разделим обе части равенства на                                 t ( t         0 ):
                                       z                      x                            y           x           y
                                                f x ( x, y)           f y ( x, y)                                    .
                                       t                      t                            t           t           t
          Устремим            t к нулю. Тогда                     x и             y будут стремиться к нулю, так как
функции x              x(t ) и y               y (t ) дифференцируемы в точке t, а, следовательно, и
непрерывны в этой точке, а потому                                         и           будут стремиться к нулю. Кроме
                                                                                  x     dx         y              dy
того по условию существуют пределы lim                                                     и lim                     .
                                                                      t    0      t     dt     t 0 t              dt
          Таким         образом,               существует             предел               левой           части         равенства,     а,
следовательно, существует предел и правой части равенства
                                                                              z       dz
                                                                  lim                    ,
                                                                  t   0       t       dt
причем
                                                  dz                       dx                       dy
                                                          f x ( x, y)                 f y ( x, y)      .
                                                  dt                       dt                       dt
                                                                      38

Страницы