Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

43
§ 7. Неявные функции и их дифференцирование.
Рассмотрим уравнение
0),( yxF
. (7.1)
Если для каждого допустимого значения
Xx
существует единственное
значение у, такое что пара
),( yx
удовлетворяет уравнению (7.1), то говорят, что
это уравнение задает неявно функцию
)(xyy
на множестве Х. Разрешив это
уравнение относительно y, получаем ту же функцию, но уже заданную в явном
виде. Однако часто бывает, что разрешить такое уравнение относительно y
невозможно (например,
0122
2
xy
y
).
В связи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной
функции, не разрешая уравнения (7.1) относительно у.
Заметим, что неявная функция
)(xyy
, определенная уравнением (7.1),
это такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение (7.1), обращает
его в тождество. Дифференцируя это тождество по x согласно правилу
дифференцирования сложной функции, получим:
0),(),(
dx
dy
yxFyxF
yx
.
Отсюда при
0),( yxF
y
получим формулу для производной неявной
функции
. (7.2)
Замечание. Производные высших порядков неявно заданной функции
)(xyy
можно найти последовательным дифференцированием формулы (7.2),
рассматривая при этом y как функцию от x.
Аналогично, частные производные неявной функции двух переменных
),( yxzz
, заданной уравнением
0),,( zyxF
, 
            § 7. Неявные функции и их дифференцирование.


      Рассмотрим уравнение
                                       F ( x, y )      0.                                   (7.1)
      Если для каждого допустимого значения x                          X существует единственное
значение у, такое что пара ( x, y ) удовлетворяет уравнению (7.1), то говорят, что
это уравнение задает неявно функцию y                    y (x ) на множестве Х. Разрешив это
уравнение относительно y, получаем ту же функцию, но уже заданную в явном
виде. Однако часто бывает, что разрешить такое уравнение относительно y
невозможно (например, 2 y       2y     x 2 1 0 ).
      В связи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной
функции, не разрешая уравнения (7.1) относительно у.
      Заметим, что неявная функция y                  y (x ) , определенная уравнением (7.1),
это такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение (7.1), обращает
его в тождество. Дифференцируя это тождество по x согласно правилу
дифференцирования сложной функции, получим:
                                                                  dy
                                 Fx ( x, y) Fy ( x, y)                   0.
                                                                  dx

      Отсюда при Fy ( x, y )     0 получим формулу для производной неявной

функции

                                       dy           Fx ( x, y )
                                                                  .                         (7.2)
                                       dx           Fy ( x, y )

      Замечание. Производные высших порядков неявно заданной функции
y   y (x ) можно найти последовательным дифференцированием формулы (7.2),
рассматривая при этом y как функцию от x.
      Аналогично, частные производные неявной функции двух переменных
z   z ( x, y ) , заданной уравнением
                                            F ( x, y , z )    0,
                                               43

Страницы