Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 45 стр.

                                                                          e0 0 e0
                                                            y (0)                                    1.
                                                                          0 e0 e0
           Найдем вторую производную функции:
                                                        '
                                      e y ye x                 (e y       ye x ) x ( xe y         e x ) (e y ye x ) ( xe y                 ex )x
y" ( x)        ( y ( x))
                                      xe y e x          x
                                                                                                ( xe y e x ) 2
           y                   x          x         y
      (e           yx   yxe          ye ) ( xe          e x ) (e y                ye x ) (e y       xe y y x      ex )
                                                                                                                         .
                                                    ( xe y e x ) 2
           Подставив в найденную производную x                                            0, y         0 и yx                1 , получим

                    (e 0 ( 1) ( 1)e 0               0 e 0 ) (0 e 0 e 0 ) (e 0                       0 e 0 )(e 0     0 e 0 ( 1) e 0 )
y" (0)
                                                               (0 e 0 e 0 ) 2
=4.
           Пример 3. Найти частные производные неявной функции z                                                                       z ( x, y ) ,

заданной уравнением z 3                            3xyz 1.
                                                                                                                                   F
           Решение. В данном случае F ( x, y, z)                                           z 3 3xyz 1. Тогда                                3 yz ,
                                                                                                                                   x
 F                      F
           3xz ,                   3z 2       3xy . Подставив найденные частные производные в
 y                      z
формулы (7.3), получим
                           F                                                                    F
               z           x              3 yz                      yz              z           y             3xz                     xz
                                                                              ,                                                                 .
               x           F          3z 2 3xy                z2         xy         y           F         3z 2 3xy               z2        xy
                           z                                                                    z
           Замечание. Отметим еще раз, что частные производные неявно заданной
функции можно найти непосредственным дифференцированием задающего ее
уравнения по соответствующей переменной. Причем, дифференцируя это
уравнение, например, по x считаем все остальные переменные постоянными, а z
рассматриваем как функцию этих переменных.
           Пример 4. Найти полный дифференциал функции z                                                             z ( x, y ) , заданной

неявно уравнением e z                          x    y z.


                                                                         45