Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

46
Решение. Как известно,
dy
y
z
dx
x
z
dz
. Поэтому сначала найдем
частные производные
x
z
и
y
z
. В данном случае
zyxezyxF
z
),,(
.
Тогда
1
x
F
,
1
y
F
,
1
z
e
z
F
. Подставив найденные частные
производные в формулы (7.3), получим
1
1
1
1
zz
ee
z
F
x
F
x
z
,
.
Следовательно,
dy
e
dx
e
dz
zz
1
1
1
1
, то есть
)(
1
1
dydx
e
dz
z
или, с
учетом того, что
zyxe
z
,
)(
1
1
dydx
zyx
dz
.
Упражнения к § 7
1. Найти производную
dx
dy
от функции
)(xyy
, заданной неявно.
1.1.
433
axyyx
. 1.2.
0)()(
222222
yxayx
.
1.3.
0)sin(
2
yxexy
xy
. 1.4.
1ln yxy
.
1.5.
0
22
yyx
arctg
. 1.6.
y
eyx
2
.
1.7.
0
yx
eye
. 1.8.
xy
yx
.
1.9.
02242
12 yyy
xxx
. 1.10.
1ln
x
y
x
y
tg
. 
                                                                                  z             z
        Решение. Как известно, dz                                                   dx            dy . Поэтому сначала найдем
                                                                                  x             y
                                            z             z
частные производные                           и             . В данном случае F ( x, y, z)                                          ez          x y z.
                                            x             y
            F                     F                           F
Тогда                1,                      1,                           e z 1.           Подставив              найденные                         частные
            x                     y                           z
производные в формулы (7.3), получим
                                    F                                                                 F
                     z              x                     1                   1            z          y                1                1
                                                      z                   z
                                                                                      ,                            z                z
                                                                                                                                                .
                     x              F             e           1       e           1        y          F        e           1    e           1
                                    z                                                                 z
                                        1                         1                                                1
Следовательно, dz                             dx                          dy , то есть dz                                  (dx dy) или, с
                                   ez 1                   ez 1                                                ez 1
                                                                                      1
учетом того, что e z               x        y z , dz                                            (dx dy) .
                                                                      x           y       z 1




                                                          Упражнения к § 7


                                                  dy
        1. Найти производную                         от функции y                                  y (x ) , заданной неявно.
                                                  dx
        1.1. x 3 y xy3             a4 .                                                        1.2. ( x 2    y 2 )2        a2 (x2           y2 ) 0.

        1.3. sin( xy) e xy             x2 y       0.                                           1.4. xy ln y 1 .
                     x        y        y
        1.5. arctg                           0.                                                1.6. x 2 y    ey .
                          2            2
        1.7. ye x    ey           0.                                                           1.8. x y      yx.
                                                                                                              y        y
        1.9. x 2    x 2y      1
                                       4y     x 2y                    2       0.               1.10. ln tg                     1.
                                                                                                              x        x



                                                                              46

Страницы