Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 48 стр.

            § 8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
            Геометрический смысл полного дифференциала


      Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется
плоскость, содержащая все касательные к кривым, проведенным на этой
поверхности через точку М.
      Нормалью к поверхности в точке М называется прямая, проходящая
через точку М и перпендикулярная касательной плоскости к данной
поверхности в точке М.
      Если поверхность задана уравнением                               F ( x, y , z )   0 , то уравнение
касательной плоскости в точке M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) этой поверхности имеет вид
              Fx (M 0 ) ( x x0 ) Fy (M 0 ) ( y              y0 ) Fz (M 0 ) ( z z0 ) 0 .                         (8.1)

      Уравнение      нормали       к этой            поверхности              в     точке        M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
записывается в виде
                                x x0               y y0            z z0
                                                                             .                                  (8.2)
                               Fx ( M 0 )         Fy ( M 0 )      Fz ( M 0 )

      Если же уравнение поверхности задано в явном виде z                                            f ( x, y ) , то
уравнение касательной плоскости в точке M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) этой поверхности
имеет вид
                     z z0      f x ( x0 , y0 ) ( x x0 )          f y ( x0 , y0 ) ( y    y0 ) ,                  (8.3)

а уравнение нормали записывается в виде
                                  x x0                 y y0             z    z0
                                                                                .                               (8.4)
                               f x ( x0 , y 0 )     f y ( x0 , y 0 )         1

      Из (8.3) видно, что геометрически дифференциал функции z                                              f ( x, y )
двух переменных в точке ( x 0 , y 0 ) есть приращение аппликаты касательной
плоскости к соответствующей поверхности в точке M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) при переходе
от этой точки к точке M ( x, y, z ) .


                                                    48