Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

49
Пример 1. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности гиперболического параболоида
22
yxz
в точке
)3,1,2(
0
M
.
Решение. 1) Найдем значения частных производных
x
z
и
y
z
в точке (2;1):
xz
x
2
,
4)1;2(
x
z
,
yz
y
2
,
2)1;2(
y
z
.
2) Подставим найденные значения и координаты данной точки
)3,1,2(
0
M
в уравнение касательной плоскости (8.3) и в уравнение нормали (8.4), получим
уравнение касательной плоскости:
или
0324 zyx
;
уравнение нормали:
1
3
2
1
4
2 zyx
.
Пример 2. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности
06
333
xyzzyx
в точке
)1,2,1(
0
M
.
Решение. 1) В данном случае
6),,(
333
xyzzyxzyxF
. Найдем
значения частных производных
x
F
,
y
F
и
z
F
в точке
)1,2,1(
0
M
:
yzxF
x
2
3
,
123)1,2;1(
x
F
,
xzyF
y
2
3
,
11143)1,2;1(
y
F
,
xyzF
z
2
3
,
523)1,2;1(
я
F
.
2) Подставим найденные значения и координаты данной точки
)1,2,1(
0
M
в уравнение касательной плоскости (8.1) и в уравнение нормали
(8.2), получим уравнение касательной плоскости:
0)1(5)2(11)1( zyx
или
018511 zyx
;
уравнение нормали:
5
1
11
2
1
1 zyx
. 
     Пример 1. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности гиперболического параболоида z                  x2        y 2 в точке M 0 ( 2,1, 3) .
     Решение. 1) Найдем значения частных производных z x и z y в точке (2;1):

                              zx   2x ,              z x (2;1)        4,

                              zy    2y ,            z y (2;1)         2.

     2) Подставим найденные значения и координаты данной точки M 0 ( 2,1, 3)
в уравнение касательной плоскости (8.3) и в уравнение нормали (8.4), получим
уравнение касательной плоскости:
                  z 3    4 ( x 2) 2 ( y 1) или 4 x 2 y                      z 3      0;
уравнение нормали:
                                   x 2      y 1       z 3
                                                          .
                                    4         2         1
     Пример 2. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности x 3     y3   z3    xyz 6 0 в точке M 0 (1, 2, 1) .

     Решение. 1) В данном случае F ( x, y, z)                    x3        y3   z3    xyz 6 . Найдем
значения частных производных Fx , Fy и Fz в точке M 0 (1, 2, 1) :

      Fx   3x 2   yz ,             Fx (1; 2, 1)    3 2 1,

      Fy   3y 2   xz ,              Fy (1; 2, 1) 3 4 1 11 ,

      Fz   3z 2   xy ,              Fя (1; 2, 1)    3 2         5.
     2) Подставим найденные значения и координаты данной точки
M 0 (1, 2, 1) в уравнение касательной плоскости (8.1) и в уравнение нормали
(8.2), получим уравнение касательной плоскости:
              ( x 1) 11( y 2) 5( z 1)             0 или x 11y 5 z 18                      0;
уравнение нормали:
                                   x 1     y 2        z 1
                                                          .
                                    1       11         5



                                             49

Страницы