Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

44
где
),,( zyxF
- дифференцируемая функция переменных x, y и z, могут быть
вычислены по формулам
),,(
),,(
zyxF
zyxF
x
z
z
x
,
),,(
),,(
zyxF
zyxF
y
z
z
y
, (7.3)
при условии, что
0),,( zyxF
z
.
Замечание. Производные высших порядков неявно заданной функции
),( yxzz
можно найти последовательным дифференцированием формул (7.3),
рассматривая при этом z как функцию от x и от y.
Пример 1. Пусть функция у(x) задана неявно соотношением
0yxe
xy
. Найти
dx
dy
.
Решение. В данном случае
yxeyxF
xy
),(
. Тогда
1
xy
x
yeF
,
1
xy
y
xeF
и согласно формуле (7.2)
.
Пример 2. Найти значение
)0(y
и
)0("y
неявной функции у(x), заданной
уравнением
0
xy
yexe
.
Решение. В данном случае
xy
yexeyxF ),(
. Тогда
xy
x
yeeF
,
xy
y
exeF
и согласно формуле (7.2)
xy
xy
exe
yee
xy )(
.
Чтобы найти
)0(y
, поступим следующим образом. Подставим
0x
в
уравнение, задающее неявно данную функцию, и найдем соответствующее
значение у:
0)0(00
0
yyee
y
.
Подставляя
0x
и
0y
в
)(xy
, найдем
)0(y
: 
где F ( x, y, z ) - дифференцируемая функция переменных x, y и z, могут быть
вычислены по формулам

                       z        Fx ( x, y , z )                            z       F y ( x, y , z )
                                                  ,                                                   ,             (7.3)
                       x        Fz ( x, y , z )                            y       Fz ( x, y, z )

при условии, что Fz ( x, y, z )          0.
        Замечание. Производные высших порядков неявно заданной функции
z      z ( x, y ) можно найти последовательным дифференцированием формул (7.3),
рассматривая при этом z как функцию от x и от y.
        Пример        1.   Пусть         функция             у(x)         задана      неявно              соотношением
                               dy
e xy    x      y 0 . Найти        .
                               dx

        Решение. В данном случае F ( x, y)                               e xy    x y . Тогда Fx                ye xy     1,

Fy      xe xy    1 и согласно формуле (7.2)

                                                      dy             ye xy 1
                                                                             .
                                                      dx             xexy 1
        Пример 2. Найти значение y (0) и y" (0) неявной функции у(x), заданной

уравнением xey          ye x     0.

        Решение. В данном случае F ( x, y)                                xey     ye x . Тогда Fx              ey      ye x ,

Fy      xe y     e x и согласно формуле (7.2)

                                                                     e y ye x
                                                  y ( x)                      .
                                                                     xe y e x
        Чтобы найти y (0) , поступим следующим образом. Подставим x                                                    0 в
уравнение, задающее неявно данную функцию, и найдем соответствующее
значение у:
                                       0 ey           ye0        0          y(0) 0 .
        Подставляя x           0и y      0 в y (x ) , найдем y (0) :


                                                            44

Страницы