Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

34
xyyyxxfxyyyxf
yxxxxxy
),()),((
343
4
,
10
3
,
10
4
.
Сравнив выражения для А, получим
xyyyxxfyxyyxxf
yxxy
),(),(
3421
или
),(),(
3421
yyxxfyyxxf
yxxy
.
Переходя в этом равенстве к пределу при
0x
,
0y
и учитывая
непрерывность производных второго порядка в области
D
(в частности, в
точке
),( yxМ
), получим
,
то есть
),(),( yxfyxf
yxxy
.
Методом математической индукции доказанное утверждение можно
распространить на частные производные любого порядка.
2. Дифференциалы высшего порядка.
Дифференциал функции
),( yxfz
dyyxfdxyxfdz
yx
),(),(
еще называют дифференциалом первого порядка.
Дифференциалом второго порядка функции
),( yxfz
называется
дифференциал от ее первого дифференциала, то есть
)(
2
dzdzd
Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков:
)(
23
zddzd
,
)(
1
zddzd
nn
.
Если х и у — независимые переменные и функция
),( yxfz
имеет
непрерывные частные производные в некоторой области D (в этом случае по
теореме Шварца смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь 
             ( f y ( x, y        3    y )) x    x x     4   x        y       x        f yx ( x        4   x, y            3   y)        y       x,

                                                0           3       1, 0          4       1.
      Сравнив выражения для А, получим
              f xy ( x       1   x, y           2     y)        x        y       f yx ( x         4     x, y        3     y)        y       x
или
                     f xy ( x         1   x, y          2       y)        f yx ( x          4    x, y          3   y) .

      Переходя в этом равенстве к пределу при                                                     x       0,         y            0 и учитывая
непрерывность производных второго порядка в области D (в частности, в
точке М ( x, y ) ), получим
                   lim f xy ( x             1   x, y            2    y)          lim f yx ( x             4    x, y           3    y) ,
                    x    0                                                       x    0
                    y    0                                                       y    0


то есть
                                                    f xy ( x, y)           f yx ( x, y) .
      Методом математической индукции доказанное утверждение можно
распространить на частные производные любого порядка.
      2. Дифференциалы высшего порядка.
      Дифференциал функции z                                f ( x, y )

                                                dz          f x ( x, y)dx             f y ( x, y)dy
еще называют дифференциалом первого порядка.
      Дифференциалом второго порядка функции                                                              z        f ( x, y )        называется
дифференциал от ее первого дифференциала, то есть
                                                                d 2z          d (dz)
      Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков:
                                     d 3z       d (d 2 z ) ,                           dnz         d (d n 1 z ) .
      Если х и у — независимые переменные и функция z                                                                             f ( x, y ) имеет
непрерывные частные производные в некоторой области D (в этом случае по
теореме Шварца смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь


                                                                     34

Страницы