Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

32
Пример 1. Найти частные производные второго порядка функции
3223
35 yxyyxxz
.
Решение. Частные производные первого порядка для данной функции
имеют вид:
2222
365;3103 yxyxzyxyxz
yx
.
Тогда
yxyxyxzz
xxxxx
106)3103()(
22
,
yxyxyxzz
yyxxy
610)3103()(
22
;
yxyxyxzz
xxyyx
610)365()(
22
;
yxyxyxzz
yyyyy
66)365()(
22
.
Пример 2. Найти
yx
z
2
функции
).3ln(
2
yxz
Решение. Имеем
тогда
.
)3(
6
22
2
yx
x
x
z
yyx
z
Дифференцируя в обратном порядке, приходим к такому же результату:
22
2
)3(
6
yx
x
yx
z
.
В этих двух примерах смешанные частные производные
yxxy
zz и
равны.
Но, вообще говоря, значения смешанных производных зависят от того, в каком
порядке производится дифференцирование. Ответ на вопрос, при каких
условиях смешанные производные не зависят от того, в каком порядке
производится дифференцирование, дает следующая теорема.
Теорема 1. Если производные
yxxy
zz и
определены в некоторой
окрестности точки
),( yxM
и непрерывны в самой точке
M
, то они равны в
этой точке:
),(),( yxzyxz
yxxy
.
Следствие. Если производные
yxxy
zz и
определены и непрерывны в
некоторой области, то они равны в этой области. 
         Пример 1. Найти частные производные второго порядка функции
z       x 3 5x 2 y 3xy2              y3 .
         Решение. Частные производные первого порядка для данной функции
имеют вид:
                                    zx      3x 2 10 xy 3 y 2 ; z y             5x 2    6 xy 3 y 2 .

         Тогда
          z xx     (zx ) x        (3x 2 10xy 3 y 2 ) x        6x 10 y ,

          z xy     (zx ) y        (3x 2 10 xy 3 y 2 ) y          10 x 6 y ;

          z yx     (z y ) x       ( 5x 2     6 xy 3 y 2 ) x        10 x 6 y ;

          z yy     (z y ) y       ( 5x 2     6 xy 3 y 2 ) y    6x 6 y .
                                            2
                                              z
         Пример 2. Найти                        функции z            ln( x 2   3 y).
                                            x y
                                                                                  2
                                                z        2x                        z           z           6x
         Решение. Имеем                                      ,      тогда                                          .
                                                x      x2 3y                     x y       y   x      ( x 2 3 y) 2
Дифференцируя в обратном порядке, приходим к такому же результату:
                              2
    z         3              z                6x
                       ,                              .
    y    x2       3y       x y           ( x 2 3 y) 2
         В этих двух примерах смешанные частные производные z xy и z yx равны.

Но, вообще говоря, значения смешанных производных зависят от того, в каком
порядке производится дифференцирование. Ответ на вопрос, при каких
условиях смешанные производные не зависят от того, в каком порядке
производится дифференцирование, дает следующая теорема.
         Теорема 1. Если производные                                z xy и z yx определены в некоторой

окрестности точки M ( x, y ) и непрерывны в самой точке M , то они равны в
этой точке: z xy ( x, y)              z yx ( x, y) .

         Следствие. Если производные z xy и z yx определены и непрерывны в

некоторой области, то они равны в этой области.

                                                              32

Страницы