Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 52 стр.

        Точки минимума и максимума функции z                                 f ( x, y ) называются точками
экстремума (или точками локального экстремума). Значения функции в этих
точках называются локальными экстремумами функции (минимумом и
максимумом соответственно).
        Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер,
так как значение функции в точке M 0 сравнивается с ее значениями в точках,
достаточно близких к точке M 0 .
        Теорема        1   (необходимые              условия         экстремума).          Если         функция
z    f ( x, y ) имеет в точке M 0 ( x0 , y 0 ) локальный экстремум, то в этой точке ее
частные производные первого порядка равны нулю                                          ( f x ( x0 , y 0 )     0   и
f y ( x0 , y 0 )   0 ) или хотя бы одна из них не существует.

        Доказательство. Пусть точка M 0 ( x0 , y 0 ) является точкой локального
экстремума, например, точкой максимума функции z                                 f ( x, y ) , то есть
                                             f ( x, y )       f ( x0 , y 0 )
для любой точки M ( x, y ) из некоторой окрестности точки M 0 ( М                                            M 0 ). И

пусть функция z            f ( x, y ) имеет в точке M 0 частные производные первого
порядка. Докажем, что             f x ( x0 , y 0 )    0 . Рассмотрим в окрестности точки
M 0 ( x0 , y 0 ) только те точки, для которых y                         y 0 . Поличим функцию одной

переменной z            f ( x, y 0 ) , для которой в некоторой окрестности точки x 0
выполняется неравенство
                                      f ( x, y 0 )        f ( x0 , y 0 ) .

                                                      52