Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

54
Эти равенства образуют систему n уравнений с n неизвестными. Решив
ее, найдем все точки, подозрительные на экстремум.
Заметим еще раз, что из теоремы 1 следует, что функция может
достигать экстремальных значений только в критических точках.
Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Пример 1. Рассмотрим функцию
22
yxz
. Найдем стационарные точки
этой функции, решив систему уравнений:
.0
,0
02
,02
0
,0
y
x
y
x
z
z
y
x
Эта функция имеет лишь одну
стационарную точку (точку
возможного экстремума)
)0,0(
.
Однако, точка
)0,0(
не является ее
точкой экстремума, так как
0)0,0(f
,
а
00)0,( xxf
и
00),0( yyf
. То есть в любой сколь угодно малой окрестности точки
)0,0(
функция принимает как значения большие, чем
)0,0(f
, так и значения
меньшие, чем
)0,0(f
(см. рисунок). Напомним, что уравнением
22
yxz
задается поверхность гиперболического параболоида.
Таким образом, пользуясь теоремой 1, можно найти лишь точки
подозрительные на экстремум. Достаточные условия экстремума функции
дает следующая теорема.
Пусть точка
),(
000
yxM
стационарная точка функции
),( yxfz
и пусть
в некоторой ее окрестности существуют непрерывные частные производные
второго порядка.
Введём обозначения:
,
,
,
2
BAC
. 
       Эти равенства образуют систему n уравнений с n неизвестными. Решив
ее, найдем все точки, подозрительные на экстремум.
       Заметим еще раз, что из теоремы 1 следует, что функция может
достигать экстремальных значений только в критических точках.
       Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума.
       Пример 1. Рассмотрим функцию z                              x2       y 2 . Найдем стационарные точки
этой функции, решив систему уравнений:
                                                                  zx      0,              2 x 0,               x 0,
                                                                  zy      0                 2y 0               y 0.

                                                                         Эта функция имеет лишь одну
                                                              стационарную                       точку         (точку
                                                              возможного                   экстремума)          (0,0) .
                                                              Однако, точка (0,0) не является ее
                                                              точкой экстремума, так как f (0, 0)                   0,
                                                              а                     f ( x, 0)   0   x      0          и
f (0, y )   0   y     0 . То есть в любой сколь угодно малой окрестности точки
(0,0) функция принимает как значения большие, чем f (0, 0) , так и значения

меньшие, чем f (0, 0) (см. рисунок). Напомним, что уравнением z                                                x2   y2
задается поверхность гиперболического параболоида.
       Таким образом, пользуясь теоремой 1, можно найти лишь точки
подозрительные на экстремум. Достаточные условия экстремума функции
дает следующая теорема.
       Пусть точка M 0 ( x0 , y 0 ) стационарная точка функции z                                     f ( x, y ) и пусть
в некоторой ее окрестности существуют непрерывные частные производные
второго порядка.
       Введём обозначения:
       A    f xх'' ( x0 , y0 ) , B   f xy'' ( x0 , y0 ) , C       f yy'' ( x0 , y0 ) ,      AC      B2 .



                                                          54

Страницы