Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

56
Из первого уравнения системы находим:
2
2
x
y
. Подставляя найденное
значение y во второе уравнение, получим
02
4
4
x
x
,
08
4
xx
,
0)8(
3
xx
.
Откуда
2,0
21
xx
.
Находим значения y, соответствующие значениям
2,0
21
xx
.
Подставляя значения
2,0
21
xx
в уравнение
2
2
x
y
, получим:
2,0
21
yy
.
Таким образом, имеем две критические точки:
)0,0(
1
M
и
.
3. Находим частные производные второго порядка:
xyxz
xxx
6)63(
2
;
6)63(
2
yxy
yxz
;
yxyz
yyy
6)63(
2
.
4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в каждой
критической точке. Для точки
)0,0(
1
M
имеем:
0)0,0(
xx
zA
,
6)0,0(
xy
zB
,
0)0,0(
yy
zC
.
Так как
036)6(00
22
BAC
, то в точке
1
M
экстремума
нет.
В точке
)2,2(
2
M
:
12)2,2(
xx
zA
,
6)2,2(
xy
zB
,
12)2,2(
yy
zC
и, следовательно,
010836144)6(1212
22
BAC
.
Значит, в силу достаточного условия экстремума (теорема 2), в точке
2
M
функция имеет минимум, так как в этой точке
0
и
0A
.
5. Находим значение функции в точке
2
M
:
822622)2,2(
33
min
zz
.
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию
22
)1()2( yxz
.
Решение. 1. Находим частные производные
x
z
и
y
z
: 
                                                                                   x2
        Из первого уравнения системы находим: y                                       . Подставляя найденное
                                                                                   2
значение y во второе уравнение, получим
                                   x4
                                             2x      0 , x 4 8x            0 , x( x 3 8) 0 .
                                   4
Откуда x1        0,    x2    2.
        Находим         значения             y,     соответствующие                значениям             x1       0, x 2   2.

                                                                                                       x2
Подставляя            значения          x1        0, x 2     2      в       уравнение            y        ,       получим:
                                                                                                       2
y1     0, y 2    2.
        Таким образом, имеем две критические точки: M 1 (0, 0) и M 2 ( 2, 2) .
        3. Находим частные производные второго порядка:
        z xx    (3x 2 6 y) x      6x ; z xy          (3x 2       6 y) y      6 ; z yy   (3 y 2       6 x) y      6y .

        4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в каждой
критической точке. Для точки M 1 (0, 0) имеем:
                         A     z xx (0, 0)        0, B       z xy (0, 0)      6, C      z yy (0, 0) 0 .

        Так как             AC B 2            0 0 ( 6) 2                36 0 , то в точке M 1 экстремума
нет.
        В точке M 2 ( 2, 2) :
                        A    z xx (2, 2) 12 , B              z xy (2, 2)       6, C     z yy (2, 2) 12

и, следовательно,              AC B 2              12 12 ( 6) 2             144 36 108 0 .
        Значит, в силу достаточного условия экстремума (теорема 2), в точке M 2
функция имеет минимум, так как в этой точке                                     0 и A 0.
        5. Находим значение функции в точке M 2 :

                                    zmin           z (2, 2) 23 23 6 2 2                   8.

        Пример 3. Исследовать на экстремум функцию z                                     ( x 2) 2             ( y 1) 2 .
        Решение. 1. Находим частные производные z x и z y :

                                                             56

Страницы