Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

57
)2(2 xz
x
,
)1(2 yz
y
.
2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
,0
,0
'
'
у
x
z
z
01
,02
у
x
.1
,2
у
x
.
Функция имеет одну критическую точку М(-2;1).
3. Находим частные производные второго порядка:
,2
''
xх
z
,0
''
xу
z
.2
''
уу
z
4. Для точки
)1,2(M
имеем
2)1,2(
xx
zA
,
0)1,2(
xy
zB
,
,
04022
22
BAC
и А>0. Значит, в силу
достаточного условия экстремума (теорема 2), в точке
M
функция имеет
минимум.
5. Находим значение функции в точке
)1;2(M
:
0)11()22()1,2(
22
min
zz
.
Пример 4. Исследовать на экстремум функцию
64
52 yxz
.
Решение. 1. Находим частные производные
x
z
и
y
z
:
3
8xz
x
,
5
10yz
y
.
2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
,0
,0
'
'
у
x
z
z
010
,08
5
3
у
x
.0
,0
у
x
.
Функция имеет одну критическую точку
)0,0(M
.
3. Находим частные производные второго порядка:
,24
2''
xz
xх
,0
''
xу
z
.50
4''
yz
уу
4. Для точки
)0,0(M
имеем
0)0,0(
xx
zA
,
0)0,0(
xy
zB
,
0)0,0(
yy
zC
,
0
2
BAC
. В этом случае (теорема 2) в точке
)0,0(M
функция может иметь экстремум, а может и не иметь. В данном случае
экстремум в точке
)0,0(M
есть, так как
0)0,0(f
и
052),(
64
yxyxf
во 
                                                 zx     2( x 2) , z y           2( y 1) .

      2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
                                     z x'        0,            x 2 0,                      x   2,
                                                                                                  .
                                     z 'у        0,             у 1 0                       у 1.

Функция имеет одну критическую точку М(-2;1).
      3. Находим частные производные второго порядка:
                  ''
        ''
      z xх   2, z xу     0, z 'уу'          2.

      4.     Для     точки        M ( 2,1)                  имеем      A        z xx ( 2,1)       2,      B      z xy ( 2,1) 0 ,

C   z yy ( 2,1)    2,            AC B 2                2 2 02          4        0      и А>0.            Значит,      в   силу

достаточного условия экстремума (теорема 2), в точке M функция имеет
минимум.
      5. Находим значение функции в точке M ( 2;1) :

                                     z min        z ( 2,1) ( 2 2) 2                  (1 1) 2       0.

      Пример 4. Исследовать на экстремум функцию z                                               2x 4 5 y 6 .
      Решение. 1. Находим частные производные z x и z y :

                                                       zx     8x 3 , z y       10y 5 .

      2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
                                       z x'      0,             8 x 3 0,                    x     0,
                                                                                                     .
                                      z 'у        0,            10 у 5 0                    у     0.

Функция имеет одну критическую точку M (0, 0) .
      3. Находим частные производные второго порядка:
                         ''
        ''
      z xх    24 x 2 , z xу     0, z 'уу'         50 y 4 .

      4.     Для        точки         M (0, 0)              имеем          A        z xx (0,0)    0,       B      z xy (0,0) 0 ,

C   z yy (0,0) 0 ,            AC         B2           0 . В этом случае (теорема 2) в точке M (0, 0)

функция может иметь экстремум, а может и не иметь. В данном случае
экстремум в точке M (0, 0) есть, так как f (0, 0)                                   0 и f ( x, y)         2x 4     5y6    0 во

                                                               57

Страницы