Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

58
всех остальных точках. То есть в точке
)0,0(M
функция
64
52 yxz
имеет
минимум.
5. Находим значение функции в точке
)0;0(M
:
0)0,0(
min
zz
.
Пример 5. Исследовать на экстремум функцию
33
52 yxz
.
Решение. 1. Находим частные производные
x
z
и
y
z
:
2
6xz
x
,
.
2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
,0
,0
'
'
у
x
z
z
015
,06
2
2
у
x
.0
,0
у
x
.
Функция имеет одну критическую точку
)0,0(M
.
3. Находим частные производные второго порядка:
,12
''
xz
xх
,0
''
xу
z
.30
''
yz
уу
4. Для точки
)0,0(M
имеем
0)0,0(
xx
zA
,
0)0,0(
xy
zB
,
0)0,0(
yy
zC
,
0
2
BAC
. В этом случае (теорема 2) в точке
)0,0(M
функция может иметь экстремум, а может и не иметь. В данном случае
экстремума в точке
)0,0(M
нет, так как
0)0,0(f
,
0),( yxf
, если
0x
и
0y
, и
0),( yxf
, если
0x
и
0y
. То есть в любой сколь угодно малой
окрестности точки
)0,0(M
функция
33
52 yxz
принимает значения как
большие
)0,0(f
, так и меньшие
)0,0(f
.
Пример 6. Найти кратчайшее расстояние от точки
)3,2,1(A
до плоскости
0922 zyx
.
Решение. Квадрат расстояния от точки
)3,2,1(A
до произвольной точки
плоскости записывается в виде следующей функции
.)3922()2()1(
222
yxyxu
всех остальных точках. То есть в точке M (0, 0) функция z                                            2x 4    5 y 6 имеет
минимум.
      5. Находим значение функции в точке M (0;0) :
                                                     z min        z (0, 0)     0.

      Пример 5. Исследовать на экстремум функцию z                                           2x 3 5 y 3 .
      Решение. 1. Находим частные производные z x и z y :

                                                  zx     6x 2 , z y          15y 2 .

      2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
                                   z x'      0,              6 x 2 0,                    x    0,
                                                                                                 .
                                   z    '
                                        у    0,              15 у 2 0                    у    0.

Функция имеет одну критическую точку M (0, 0) .
      3. Находим частные производные второго порядка:
                       ''
         ''
       z xх    12 x, z xу   0, z 'уу'        30 y.

      4.      Для      точки       M (0, 0)            имеем            A      z xx (0,0)     0,     B      z xy (0,0) 0 ,

C   z yy (0,0) 0 ,          AC          B2     0 . В этом случае (теорема 2) в точке M (0, 0)

функция может иметь экстремум, а может и не иметь. В данном случае
экстремума в точке M (0, 0) нет, так как f (0, 0)                                   0 , f ( x, y )   0 , если x      0 и
y   0 , и f ( x, y )    0 , если x           0 и y           0 . То есть в любой сколь угодно малой

окрестности точки M (0, 0) функция z                                  2 x 3 5 y 3 принимает значения как
большие f (0, 0) , так и меньшие f (0, 0) .
      Пример 6. Найти кратчайшее расстояние от точки A(1,2,3) до плоскости
2x 2 y        z 9      0.
      Решение. Квадрат расстояния от точки A(1,2,3) до произвольной точки
плоскости записывается в виде следующей функции
                             u ( x 1) 2                ( y 2) 2         (2 x        2 y 9 3) 2 .



                                                             58

Страницы