Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

59
Решение задачи сводится к отысканию минимального значения этой
функции. С этой целью находим частные производные функции
),( yxu
,
приравниваем их к нулю и решаем получившуюся систему уравнений:
,50810 yx
x
u
,52810 xy
y
u
.052810
,050810
xy
yx
Получим точку предполагаемого экстремума
)3/10,3/7(М
. Находим
частные производные второго порядка функции
),( yxu
, вычисляем их значения
в точке и вычисляем определитель в этой точке
,10
3
10
,
3
7
2
2
x
u
А
,10
3
10
,
3
7
2
2
y
u
В
,8
3
10
,
3
7
2
yx
u
С
36
3
10
,
3
7
2
BAC
.
Так как
,0
3
10
,
3
7
,0
3
10
,
3
7
2
2
x
u
А
то в точке
)3/10,3/7(М
функция
),( yxu
имеет минимум
4
min
u
. После извлечения корня из полученного
значения определим искомое расстояние
.
Упражнения к § 9
1. Исследовать функции на экстремум.
1.1.
10232
2
yxxyz
. 1.2.
22
)(4 yxyxz
.
1.3.
1
22
yxyxyxz
. 1.4..
yxyxxz 524
2
.
1.5.
)1( yxxyz
. 1.6.
axyyxz 3
33
.
1.7.
)ln(
22
yxxyz
. 1.8.
yxy
exz
sin
.
1.9.
)1)((
)(22
22
yx
eyxz
.
1.10.
)cos(sinsin yxyxz
, где
2
3
0 x
,
2
3
0 y
. 
     Решение задачи сводится к отысканию минимального значения этой
функции. С этой целью находим частные производные функции u ( x, y ) ,
приравниваем их к нулю и решаем получившуюся систему уравнений:
       u                                      u                                      10 x 8 y             50 0,
         10 x 8 y           50,                       10 y       8 x 52,
       x                                      y                                      10 y 8 x             52 0.
     Получим точку предполагаемого экстремума М (7 / 3,10 / 3) . Находим
частные производные второго порядка функции u ( x, y ) , вычисляем их значения
в точке и вычисляем определитель в этой точке
                2                                            2                                        2
                 u 7 10                                       u 7 10                                   u 7 10
         А          ,               10,           В              ,           10,        С                  ,         8,
                x2 3 3                                       y2 3 3                                   x y 3 3

                                                   7 10
                                                    ,             AC B 2        36 .
                                                   3 3
                                                  2
                     7 10                          u 7 10
     Так как          ,           0, А                ,                0, то в точке М (7 / 3,10 / 3) функция
                     3 3                          x2 3 3
u ( x, y ) имеет минимум u min                    4 . После извлечения корня из полученного

значения определим искомое расстояние d                                 u min      2.




                                                  Упражнения к § 9


     1. Исследовать функции на экстремум.
     1.1. z    2xy 3x 2           2 y 10 .                          1.2. z      4( x y) x 2                  y2.

     1.3. z    x2     xy y 2          x y 1.                       1.4.. z      x2      4x y              2x 5 y .

     1.5. z    xy(1 x        y) .                                  1.6. z       x3      y 3 3axy .

     1.7. z    xy ln( x 2     y2 ) .                               1.8. z       x ey    x sin y
                                                                                                  .
                                  ( x2 y2 )
     1.9. z    (x2     y 2 )(e                    1) .
                                                                             3                        3
     1.10. z    sin x sin y cos( x                       y ) , где 0    x       ,0          y            .
                                                                              2                        2
                                                             59

Страницы