Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

61
13. Даны три точки
)12,0,0(A
,
)4,0,0(B
и
)8,0,8(C
. На плоскости Oxy
найти такую точку D, чтобы сфера, проходящая через точки A, B, C и D, имела
наименьший радиус.
§ 10. Условный экстремум функции
В теории функций нескольких переменных иногда возникают задачи,
когда экстремум функции нескольких переменных необходимо найти не на
всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому
условию.
Пусть
),( yxfz
– функция двух переменных, аргументы x и y которой
удовлетворяют условию
0),( yx
, называемому уравнением связи.
Определение. Точка
),(
000
yxM
называется точкой условного минимума
(максимума) функции
),( yxfz
, если существует такая окрестность точки
0
M
, что для всех точек
),( yxM
из этой окрестности, отличных от точки
и
удовлетворяющих условию
0),( yx
, выполняется неравенство
),(),(
00
yxfyxf
(соответственно неравенство
),(),(
00
yxfyxf
).
Геометрически задача отыскания условного экстремума сводится к задаче
нахождения экстремальных точек кривой, по которой поверхность
),( yxfz
пересекается с цилиндром
0),( yx
.
То есть, в отличие от обычной точки экстремума значение функции в
точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех
точках некоторой ее окрестности, а только в тех из них, которые лежат на
линии L, задаваемой уравнением связи
0),( yx
.
Очевидно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного
экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии, 
        13. Даны три точки A(0, 0,12) , B (0, 0, 4) и C (8, 0, 8) . На плоскости Oxy
найти такую точку D, чтобы сфера, проходящая через точки A, B, C и D, имела
наименьший радиус.




                            § 10. Условный экстремум функции


        В теории функций нескольких переменных иногда возникают задачи,
когда экстремум функции нескольких переменных необходимо найти не на
всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому
условию.
        Пусть z        f ( x, y ) – функция двух переменных, аргументы x и y которой
удовлетворяют условию             ( x, y )      0 , называемому уравнением связи.
        Определение. Точка M 0 ( x0 , y 0 ) называется точкой условного минимума
(максимума) функции z               f ( x, y ) , если существует такая окрестность точки
M 0 , что для всех точек M ( x, y ) из этой окрестности, отличных от точки M 0 и
удовлетворяющих              условию              ( x, y )   0,         выполняется         неравенство
f ( x0 , y 0 )   f ( x, y ) (соответственно неравенство f ( x0 , y 0 )          f ( x, y ) ).
        Геометрически задача отыскания условного экстремума сводится к задаче
нахождения экстремальных точек кривой, по которой поверхность z                                 f ( x, y )
пересекается с цилиндром             ( x, y )    0.
        То есть, в отличие от обычной точки экстремума значение функции в
точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех
точках некоторой ее окрестности, а только в тех из них, которые лежат на
линии L, задаваемой уравнением связи                    ( x, y )   0.
        Очевидно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного
экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии,



                                                      61

Страницы