Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 63 стр.

      2. В более сложных случаях, когда уравнение связи                                   ( x, y )   0 не
разрешимо относительно одной из переменных, для отыскания условного
экстремума используется метод множителей Лагранжа.
      В этом случае составляется вспомогательная функция по данной функции
и уравнению связи (так называемая функция Лагранжа)
                            F ( x, y , )     f ( x, y )          ( x, y ) ,
где   - неопределенный множитель (параметр).
      Точки возможного экстремума этой функции F ( x, y, ) находятся из
системы уравнений
                              Fx    0,               fx          x        0,
                              Fy      0,             fy          y        0,
                              F       0,              ( x, y )       0.
      Исключив из этой системы параметр                   и решив ее относительно х и у,
получим точки ( x, y ) , которые и являются точками возможного условного
экстремума функции z        f ( x, y ) при уравнении связи                         ( x, y )   0 . Чтобы
выяснить, будут ли действительно найденные точки точками условного
экстремума функции z        f ( x, y ) , и если будут, то каков характер этого
экстремума, нужны дополнительные исследования. Однако в большинстве
случаев, при решении конкретной задачи непосредственно из геометрических
или физических соображений бывает ясно, является ли найденная точка точкой
условного экстремума или нет.
      Пример 1. Найти экстремумы функции z                                3x 2 6xy 2 y 2 7 при
условии, что ее аргументы удовлетворяют уравнению связи y 3x                                  1.
      Решение. Из уравнения связи находим функцию y                            3x 1 и подставляем

ее в функцию z   3x 2   6xy 2 y 2     7 . Получим функцию одной переменной

                         z( x) 3x 2        6 x(3x 1) 2(3x 1) 2                 7
или
                                    z( x) 3x 2        6x 5
                                            63