Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 64 стр.

      Находим экстремум данной функции:
                                      z ( x)        6 x 6 , 6x 6                 0 , x 1.
      Таким образом, x 1 – точка, подозрительная на экстремум. Исследуем
эту точку.

                                                                                               z’(х)
                             -                                             +
                                                                                               х
                                                    1
                                                                                               z(х)
      Таким образом, в точке x 1 функция z (x) имеет локальный минимум.
Из уравнения связи находим: y                      3 1 1 2 . Следовательно, функция

                                               z        3x 2        6xy 2 y 2         7
в точке M (1, 2) имеет условный минимум:

      z min       z(1, 2) 3 12 6 1 2 2 22 7                                8.
      Покажем         на   примере             этой же                задачи,           как применяется            метод
неопределенных множителей Лагранжа.
      Пример 2. Найти экстремумы функции z                                                 xy при условии, что ее

аргументы удовлетворяют уравнению связи y 2                                      x2       1.

      Решение. Уравнение связи запишем в виде y 2                                                  x 2 1 0 . Функция
Лагранжа F ( x, y, )       f ( x, y )               ( x, y ) будет иметь вид:

                                      F ( x, y, )              xy          (y2        x 2 1) .
      Соответствующая система для определения точек возможного условного
экстремума запишется в виде:
              Fx    0,           fx            x         0,           y 2 x           0,               y    2 x,
              Fy    0,           fy            y         0,          x 2 y            0,       или x        2 y,
              F     0,             ( x, y )         0.                y2       x2 1 0                  y2   x 2 1 0.
      Исключив параметр λ из первых двух уравнений системы, получим .
                              y2        x2 ,                                      2                 2
                                                        Откуда x                    ,y                .
                              y2        x2         1.                            2                 2

                                                               64