Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 66 стр.

                                         Упражнения к § 10


         1. Исследовать данные функции на условный экстремум при данных
уравнениях связи.
         1.1. z    e xy при y     x 1.

                   1    1     1        1     1
         1.2. z           при 2                 .
                   x    y    x         y2    a2

         1.3. z    a cos 2 x b cos 2 y при y        x        .
                                                         4
         1.4. u    cos x cos y cos z при x          y    z        .
                                   1     1   1
         1.5. u    x    y z при                1.
                                   x     y   z
         2.   Доказать,     что    функция          z    x 3 3xy2 18 y        при    условии,   что

3x 2 y    y 3 6x       0 , достигает экстремума в точках ( 3; 3) и (                3;   3) .
         3. Доказать, что произведение трех неотрицательных чисел, имеющих
заданную сумму, будет наибольшим тогда и только тогда, когда все эти числа
равны друг другу. Справедливо ли это утверждение для n сомножителей?
         4. Доказать, что сумма нескольких положительных чисел, имеющих
заданное произведение, является наименьшей тогда и только тогда, когда все
эти числа равны между собой.
         5. Найти кратчайшее расстояние между параболой y                            x 2 и прямой
x   y 2       0.
         6.   В    данный       прямой       круговой            конус   вписать    прямоугольный
параллелепипед наибольшего объема.
         7. Из всех треугольников с одинаковым основанием и одним и тем же
углом при вершине найти наибольшей по площади.
         8. Из всех треугольников, вписанных в круг данного радиуса, найти тот,
площадь которого наибольшая.


                                                    66