Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 68 стр.

                   § 11. Производная по направлению. Градиент


      Производная               по       направлению.               Рассмотрим             функцию     z=f(x;у),
определенную в некоторой окрестности точки М(х, у), и произвольный
                 
единичный вектор l {cos , cos } .

          y                                                                 Производная                     по
                                                  l            l
                                                                       направлению            вводится      для
 y      y                                         M1
                           β                                           характеристики                  скорости
                                     α
                                                                       изменения функции в точке
            y
                           M
                                                                       М(х, у) в направлении вектора
                                                                       
                                                                       l.
          0            x                      x        x       x
                                                                             Проведем через точку М
прямую l так, чтобы одно из направлений на ней совпадало с направлением
        
вектора l . Возьмем на этой направленной прямой точку M 1 ( x  x, y  y) .
Пусть
                                                                                 
                                                  ( M , M 1 ), если MM 1         l,
                                         l                                            ,
                                                      ( M , M 1 ), если MM 1          l
то есть
                                                                                 
                                         ( x) 2       ( y ) 2 , если MM 1        l,
                                l                                                 .
                                             ( x) 2        ( y ) 2 , если MM 1    l

      Определение. Производной функции z=f(x;у) в точке М(х, у) в
                                                                                          z
направлении вектора l называется предел отношения                                            при   l     0 (где
                                                                                           l
 z   f (x          f ( x, y ) ) при условии, что этот предел существует.
                x, y       y)
                                                                      
Производная функции z=f(x;у) в точке М(х, у) в направлении вектора l
                   z
обозначается         ( x, y) . То есть
                   l


                                                             68