Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 70 стр.

                                                Производной           функции           по
                                        направлению можно дать геометрическую
                                        интерпретацию.        Если    через    прямую    l
                                        провести вертикальную плоскость P, то эта
                                        плоскость        пересечет            поверхность,
                                        являющуюся графиком график функции
                                        z = f(x,y)            вдоль             некоторой
                                        пространственной кривой L. Тангенс угла
                                        между плоскостью хОу и касательной к
этой кривой в точке M0(x0,y0) равен производной функции в этой точке по
направлению l.
      Градиент функции. Определение. Градиентом функции f(x,y) в точке
М(x,y) называется вектор, координаты которого равны соответствующим
частным производным функции в точке М(x,y). Обозначают градиент функции
f(x,y) в точке М(x,y) символом grad f x; y .
      Таким образом,
                                            f x, y     f x, y
                       grad f ( x, y)              ,             .
                                              x          y
      Возвратимся теперь к формуле (11.1). Ее правую часть можно
рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них - градиент
                                                        f x, y        f x, y
функции z = f(x,y) в точке M(x,y): grad f ( x, y)              ,                .
                                                          x             y

      Второй – вектор l       cos ;cos      . Это единичный вектор, составляющий

угол наклона к оси Ох равный , а к оси Оу – угол β.
      То есть
                 f x, y       f x, y             f x, y
                                     cos                cos      gradf ( x, y ) l .
                   l            x                  y
      С другой стороны, по определению скалярного произведения имеем


                                           70