Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

71
( , ) , cosgrad f x y l grad f x y l
, (11.2)
где - угол между вектором
,grad f x y
и вектором
l
, задающим
направление, по которому берется производная. Учитывая, что
1l
, получим
( , ) , cosgrad f x y l grad f x y
.
Из этого равенства следует, что производная по направлению
l
от
функции f(x,y) в точке M(x,y) достигает наибольшего значения, если это
направление
l
совпадает с направлением градиента функции в
рассматриваемой точке, так как cos 1, и равенство достигается только
если = 0.
Таким образом, градиент функции f(x,y) в точке M(x,y) характеризует
направление и величину максимальной скорости возрастания функции в
данной точке. Кроме того, наибольшее значение производной по
направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания
функции в точке равно длине вектора-градиента функции в этой точке.
Пример. Требуется найти производную функции
xy
y
z
по
направлению, составляющему угол в 60 с осью OX, в точке (1;3).
Решение. Найдем частные производные функции:
22
)(
;
)( xy
x
z
xy
y
z
yx
Теперь можно определить градиент функции в
точке (1;3):
. Принимая во внимание равенство
13
;
22
l
, воспользуемся формулой (11.2):
8
33
)3;1(
l
z
.
Аналогично определяется производная по направлению для функции трех
переменных
( , , )u f x y z
, которую можно вычислить по формуле 
                                 grad f ( x, y ) l      grad f x, y              l cos ,                  (11.2)

где       - угол между вектором                         grad f x, y              и вектором l , задающим

направление, по которому берется производная. Учитывая, что l                                     1 , получим

                                  grad f ( x, y ) l       grad f x, y            cos .

        Из этого равенства следует, что производная по направлению l от
функции f(x,y) в точке M(x,y) достигает наибольшего значения, если это
направление              l     совпадает           с   направлением               градиента       функции       в
рассматриваемой точке, так как cos                               1, и равенство достигается только
если     = 0.
        Таким образом, градиент функции f(x,y) в точке M(x,y) характеризует
направление и величину максимальной скорости возрастания функции в
данной        точке.           Кроме       того,       наибольшее            значение      производной       по
направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания
функции в точке равно длине вектора-градиента функции в этой точке.
                                                                                                      y
        Пример.              Требуется       найти       производную               функции    z              по
                                                                                                    y x
направлению, составляющему угол в 60 с осью OX, в точке (1;3).
        Решение.                  Найдем               частные               производные            функции:
          y                        x
zx              2
                  ; zy                      Теперь можно определить градиент функции в
       ( y x)                   ( y x) 2
                                             3 1
точке    (1;3):          grad z 1;3           ;  .          Принимая              во   внимание     равенство
                                             4 4

       1 3
l       ;  , воспользуемся формулой (11.2):
       2 2

                                                       z (1;3)   3       3
                                                                             .
                                                          l          8
        Аналогично определяется производная по направлению для функции трех
переменных u                 f ( x, y, z ) , которую можно вычислить по формуле
                                                          71

Страницы