Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 69 стр.

                                                z                              z
                                                  ( x, y)            lim         .
                                                l                    l   0     l
      Теорема. Если функция z=f(x;у) дифференцируема в точке М(х, у), то ее

производная       в    точке      М(x;у)       в     направлении                         вектора     l   (cos ; cos )
вычисляется по формуле:
                          z               z                              z
                            ( x, y)         ( x, y ) cos                   ( x, y ) cos .                         (11.1)
                          l               x                              y

где сos , сos - направляющие косинусы вектора l .
      Доказательство. Так как функция z=f(x;у) дифференцируема в точке
М(х, у), то ее приращение в этой точке вдоль прямой l можно записать в виде

                   z     f x ( x, y ) x     f y ( x, y ) y           1   ( x, y ) x           2   ( x, y ) y ,

где   1   и   2   - бесконечно малые функции при                                     x     0, y       0 , то есть при

                                                                                                            x
 l    0 . Разделим обе части равенства на                                  l    0 и учтем, что                   cos ,
                                                                                                            l
 y
      cos . Получим
 l
          z
              f x ( x, y) cos      f y ( x, y) cos           1   ( x, y) cos                  2   ( x, y) cos .
          l
Переходя в этом равенстве к пределу при                          l         0 , получим
                                 z                          z
                                   ( x, y ) cos               ( x, y ) cos .
                                 x                          y
      Теорема доказана.
      Если частные производные характеризуют скорость изменения функции в
направлении соответствующих координатных осей, то производная по

направлению        вектора        l       определяет             скорость                 изменения      функции      в

направлении вектора l .




                                                     69