Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

65
Таким образом, нашли четыре точки возможного условного экстремума:
2
2
,
2
2
,
2
2
,
2
2
,
2
2
,
2
2
,
2
2
,
2
2
4321
MMMM
.
Очевидно, что точках М
1
и М
2
функция имеет условный максимум, а в
точках М
3
и М
4
функция имеет условный минимум,
2
1
2
2
,
2
2
max
zz
,
2
1
2
2
,
2
2
min
zz
.
Можно аналогично искать условный экстремум функции f(x, y, z) при
двух уравнениях связи:
1
(x, y, z) = 0 и
2
(x, y, z) = 0.
Эти уравнения определяют линию в пространстве. Таким образом, задача
сводится к отысканию такой точки линии, в которой функция принимает
экстремальное значение, причем сравниваются значения функции только в
точках рассматриваемой линии.
Метод множителей Лагранжа в этом случае применяется следующим
образом: строим вспомогательную функцию
),,(),,(),,(),,,,(
221121
zyxzyxzyxfzyxF
где
1
и
2
- новые дополнительные неизвестные, и составляем систему
уравнений для отыскания экстремумов этой функции:
.0),(
,0),(
,0)()(
0)()(
,0)()(
0
0
,0
,0
,0
2
1
2211
2211
2211
2
1
yx
yx
f
f
f
F
F
F
F
F
zzz
yyy
xxx
z
y
x
Получили систему уравнений с пятью неизвестными x, y, z,
1
,
2
.
Искомыми точками условного экстремума могут быть только те точки,
координаты х, у, z которых являются решением этой системы. 
        Таким образом, нашли четыре точки возможного условного экстремума:

         2 2                      2              2                     2 2                            2           2
M1        ,  , M2                   ,              , M3                 ,  , M4                         ,           .
        2 2                      2              2                     2 2                            2           2
        Очевидно, что точках М1 и М2 функция имеет условный максимум, а в

                                                                                                                            2            2        1
точках М3 и М4 функция имеет условный минимум, z max                                                             z            ,                     ,
                                                                                                                           2            2         2

                 2     2                1
z min   z          ,                     .
                2     2                 2
        Можно аналогично искать условный экстремум функции f(x, y, z) при
двух уравнениях связи:                  1(x,        y, z) = 0 и       2(x,     y, z) = 0.
        Эти уравнения определяют линию в пространстве. Таким образом, задача
сводится к отысканию такой точки линии, в которой функция принимает
экстремальное значение, причем сравниваются значения функции только в
точках рассматриваемой линии.
        Метод множителей Лагранжа в этом случае применяется следующим
образом: строим вспомогательную функцию
                      F ( x, y , z ,    1   ,   2   )   f ( x, y , z )          1     1   ( x, y , z )      2        2   ( x, y , z )

где     1   и    2-   новые дополнительные неизвестные, и составляем систему
уравнений для отыскания экстремумов этой функции:

                              Fx        0,                  fx         1     ( 1)x          2   (    )
                                                                                                    2 x     0,
                              Fy        0,                  fy           1   ( 1) y         2   (    )
                                                                                                    2 y     0
                              Fz        0,                  fz         1     ( 1)z          2   (    )
                                                                                                    2 z     0,
                              F    1
                                            0                 1   ( x, y )      0,
                              F             0                 2   ( x, y )       0.
                                   2



        Получили систему уравнений с пятью неизвестными x, y, z,                                                                             1,    2.

Искомыми точками условного экстремума могут быть только те точки,
координаты х, у, z которых являются решением этой системы.




                                                                    65

Страницы