Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 62 стр.

проходящей через эту точку. Обратное же утверждение неверно: точка
условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума.

      Пример. Графиком функции              z          1      x2         y2        является верхняя

полусфера (см. рис.).




      Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует
вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и
В (ее уравнение x+y-1=0), то геометрически ясно, что для точек этой линии

наибольшее значение функции            z        1      x2          y2     достигается в точке

    1 1
P    , , лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка
    2 2

условного экстремума (максимума) функции z                           1        x2     y 2 на данной
линии; ей соответствует точка M1 на полусфере, и из рисунка видно, что ни о
каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.
      При нахождении условного экстремума возможны две ситуации.
      1. Уравнение связи    ( x, y )   0 можно разрешить относительно одной из
переменных (например, выразить y через x: y                    y (x) ). В этом случае задача
отыскания условного экстремума функции двух переменных сводится к
нахождению экстремума функции одной переменной. Для этого подставляют
найденное значение y       y (x) в функцию двух переменных. В результате
получают функцию одной переменной x: z ( x)                        f ( x, y ( x)) . Ее экстремум и
будет условным экстремумом функции z                f ( x, y ) .


                                           62