Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 55 стр.

        Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть точка M 0 ( x0 , y 0 )
стационарная          точка   функции       z    f ( x, y )    (то    есть    f x ( x0 , y 0 )   0   и
f y ( x0 , y 0 )   0 ) и пусть в некоторой ее окрестности существуют непрерывные

частные производные второго порядка.
        1. Если       >0, то функция z     f ( x, y ) в точке М0 имеет экстремум, причём
максимум при А<0 и минимум при А>0.
        2. Если       <0, то в точке М0 экстремума нет.
        3. Если        =0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный
случай), то есть в этом случае функция в точке возможного экстремума может
иметь экстремум, а может и не иметь.
        При        исследовании    функции           двух      переменных         на     экстремум
рекомендуется использовать следующую схему.
   1. Найти частные производные первого порядка: z x и z y .

                                          zx    0,
   2. Решить систему уравнений                       и найти критические точки функции.
                                          zy    0,

   3. Найти частные производные второго порядка: z xx , z xy , z yy .

   4. Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой
        критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о
        наличии экстремума.
   5. Найти экстремумы функции.
        Пример 2. Найти экстремумы функции z                    x3   y 3 6 xy .
        Решение. 1. Находим частные производные z x и z y :

                                   zx    3x 2 6 y , z y       3 y 2 6x .

        2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
                                  3x 2 6 y 0,     x2 2y                0,
                                              или
                                  3 y 2 6x 0      y 2 2x               0.




                                                55