Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 53 стр.

То есть точка x 0 является точкой максимума функции одной переменной
z    f ( x, y 0 ) ,    которая     по       условию        имеет       производную         в      точке   x0 .
Следовательно, в этой точке выполняется необходимое условие экстремума
функции одной переменной, тогда f x ( x0 , y 0 )                   0 . Аналогично, положив x              x0 ,

получим f y ( x0 , y0 )      0 . Теорема доказана.
        Точки, в которых частные производные первого порядка функции равны
нулю, называются стационарными. Стационарные точки и точки, в которых
частные производные не существуют, называются критическими.
        Из теоремы 1 следует, что функция может достигать экстремальных
значений только в критических точках.
        Таким образом, при нахождении точек возможного экстремума функции
не следует забывать, что точками экстремума непрерывной функции могут
быть точки, в которых функция не дифференцируема (им соответствуют
“острия” поверхности - графика функции).

        Так, например, функция                  z      x2     y2       имеет, очевидно, в начале
координат             минимум,    равный       нулю,        но     в        этой   точке       функция    не
дифференцируема. График этой функции есть конус с вершиной в начале
координат и осью, совпадающей с осью Oz .
        Следовательно, если иметь в виду не только дифференцируемые, но и
вообще непрерывные функции, то нужно сказать, что точками экстремума
могут      быть         стационарные         точки    и      точки,         в    которых       функция    не
дифференцируема.
        Аналогично               определяется              понятие              экстремума          функции
u    f ( x1 , x 2 ,..., x n ) любого числа независимых переменных и устанавливаются
необходимые условия экстремума. А именно: дифференцируемая функция n
переменных может иметь экстремумы только при тех значениях x1 , x2 ,..., xn ,
при которых равны нулю все ее n частных производных первого порядка:
        f x ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 , f x ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 ,… f x ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 .
           1                            2                               n




                                                      53